4. Правила Хунда

1.7.х. Найти кратность вырождения основного терма атома, электронная конфигурация единственной незаполненной оболочки которого d⁶.

1.7.х. Символу d соответствует l = 2.Составим таблицу распределения электронов по значениям квантового числа ml, с соблюдением правил Хунда ( 1. Суммарное S - максимально, 2. L – максимально, точнее следует говорить сначала о максимальных значениях m_S и m_L).

ml	+2	+1	0	-1	-2
ms	↑↓	↑	↑	↑	↑

Из таблицы видно, что максимальная сумма m_S = 2, значит S = 2. Кроме того, максимальное значение m_L = 2, значит L = 2. Так как подоболочка заполнена более чем наполовину, то по правилу Хунда J = L + S = 4.

Итак, основной терм этой конфигурации ⁵D₄ и его кратность вырождения (число различных m_J) определяется как 2J + 1, т. е. равно девяти.

4. Рентгеновские спектры

Закон Мозли. Мозли (1913) экспериментально установил закон, согласно которому частота  K_ - линий зависит от атомного номера Z как:

_K = (3/4)R(Z – )² , (6.43)

где R – постоянная Ридберга (R = 2,07·10¹⁶ c^-1) ,  - постоянная, практически равная единице ( = 1) для легких элементов. Этот закон сыграл в свое время важную роль при уточнении расположения элементов в периодической системе.

1.8.х. Найти порядковый номер Z легкого элемента, у которого в спектре поглощения рентгеновского излучения разность частот K- и L- краев поглощения равна  = 6,85·10¹⁸ c^-1.

1.8.х. ħ – это разность энергий связи электрона на K- и L- уровнях, частота перехода между которыми (см. рис. 6.7) определяется законом Мозли (6.43).

Таким образом, из равенства (3/4)R(Z – 1)² =  найдем:

Z = 1 + (4/3R)^1/2 = 22, т.е. титан.

1.8.х. Найти энергию связи K –электрона ванадия (Z = 23), для которого длина волны L –края полосы поглощения равна _L.

1.8.х. С использованием рис. 6.7. можно записать, что искомая энергия связи равна:

E_K = ћ_L + ћ_K,

где _L = 2c/_L и _K - частота, определяема законом Мозли (6.43). В результате имеем: E_K = ћ[2c/_L + 3R(Z – 1)²/4].

4. Магнитные свойства атомов

Результирующий магнитный момент атомной электронной оболочки  в силу гиромагнитной аномалии спина (g_сп=2) не совпадает с направлением результирующего механического момента J (рис. хх). Векторы L и S, говоря классическим языком, прецессируют вокруг направления вектора J. Поэтому, _orb и _sp также должны прецессировать вокруг J и в результате эффективный магнитный момент электронной оболочки атома _J будет равен сумме проекций _орб и _сп на направление J:

_J = _orbcos(L,J) + _spcos(S,J).

Применяя обычные тригонометрические формулы к треугольнику, образованному векторами J, S, J (рис. 1.4.1) получим:

_J = {3/2+[S(S+1)-L(L+1)]/2J(J+1)}[J(J+1)]^1/2_Б = g_J [J(J+1)]^1/2_Б,

где g_J так называемый фактор Ланде электронной оболочки (или спектроскопический фактор).

Если L = 0, то J = S и g_J = g_sp = 2,

если S = 0, то J = L и g_J = g_orb = 1. То есть в случае спинового момента фактор Ланде равен двум, а в случае чисто орбитального момента фактор Ланде равен единице.

При S = L – g = 3/2.

Магнитный момент атома и фактор (множитель) Ланде:

μ = g μ_B[J(J +1)]^1/2

g = 3/2 + [S( S +1) – L( L+ 1)]/2J( J+1)

где μ_B - магнетон Бора. = eћ/2mc (СГС) eћ/2m (СИ)

Т

Рис. Хх.

о есть в случае спинового момента фактор Ланде равен двум, а в случае чисто орбитального момента фактор Ланде равен единице. При S = L – g = 3/2.

1.9.x. Определить проекцию магнитного момента _J на направление J атома в состоянии с квантовыми числами S, L, J.

1.9.x_J=_Lcos(LJ)+_Scos(SJ)=[L(L+1)]^1/2_B cos(LJ) + 2[S(S+1)]^1/2_B cos(SJ),

_L_L(L+1)]^1/2; , _S_S(S+1)]^1/2, _B=eħ/2mc = 9,3 10^-21 эрг/Гс.

S + L = J

J(J+1) + L(L+1) – 2[J(J+1)]^1/2[L(L+1)]^1/2 cos(LJ) = S(S+1)

cos(LJ) = [J(J+1) +L(L+1) –S(S+1)]/2[J(J+1)L(L+1)]^1/2

J(J+1) + S(S+1) – 2[J(J+1)]^1/2[S(S+1)]^1/2 cos(SJ) = L(L+1)

cos(SJ) = [J(J+1) +S(S+1) –L(L+1)]/2[J(J+1)S(S+1)]^1/2

_J = _B[L(L+1)]^1/2 [J(J+1)+L(L+1)-S(S+1)]/2[J(J+1)L(L+1)]^1/2 +

_B[S(S+1)]^1/2 [J(J+1)+S(S+1)-L(L+1)]/2[J(J+1)S(S+1)]^1/2 =

_B/2[J(J+1)]^1/2}[J(J+1)+L(L+1)-S(S+1)+2J(J+1) +2S(S+1) -2L(L+1)]=

_B[J(J+1)]^1/2}[3J(J+1)-L(L+1)+S(S+1)/2J(J+1) = _J_B[J(J+1)]^1/2

_J = [3J(J+1)-L(L+1)+S(S+1)]/2J(J+1) – фактор Ланде.

1.9.x. Определить магнитные моменты катионов Sm³⁺ и Dy³⁺ в основном состоянии.

1.9.x. Электронные оболочки Sm³⁺ (z=62) и Dy³⁺ (z=66):

(Sm³⁺) = (Xe(z=54)4f⁵) (Xe) =1s²2s²3p⁶3s²3p⁶3d¹⁰ 4s²4p⁶4d¹⁰5s²5p⁶

S = 5/2, L = 5, J = L – S = 5/2, g_J =2/7,  = _JJ_B = 0,71_B

(Dy³⁺) = (Xe(z=54)4f⁹)

S = 5/2, L = 5, J = L + S = 15/2, g_J = 4/3, = _JJ_B = 10_B.

1.9.x. Найти эффективный магнитный момент атома с L = 2, J = 3/2, S = 1/2.

1.9.x._J=_B_J[J(J+1)]^1/2= _B(4/5)·(15^1/2/2).

1.9.х. Магнитный момент атома величиной в два магнетона Бора направлен под углом 30о к магнитному полю с индукцией B = 2000 Гс. Найти энергию взаимодействия магнитного момента с магнитным полем.

1.9.х. W = -(B) = 3·10^-6 эВ.

1.9.х. Полное орбитальное квантовое число атома равно L = 3, Вычислить величину максимальной дополнительной энергии, которую приобретет орбитальный момент атома в поле с индукцией B = 5000 Гс.

1.9.х. W_max = L_BB = 0,87· 10^-4 эВ.

1.9.х. Определить максимальный и минимальный угол между орбитальными моментами двух электронов, у которых l₁ = 2, l₂ = 3.

1.9.х. L_max = 5, L_min = 1. По формуле 55.10

_min = 45^o, _max ≈ 160^o.

1.9.х. Чему равны полные значения количества движения электрона, орбитальный момент которого характеризуется квантовым числом l = 3?

1.9.x. j = l ± 1/2 =7/2, 5/2, |M_j| = ћ[j(j+1)]^1/2 = ћ63^1/2/2, ћ35^1/2/2.

1.9.х. Чему раняются множители Ланде для атомов с одним валентным электроном, у которых L = 0, 1, 2?

1.9.х. J = L ± S = L ± 1/2 = 1/2, 3/2, 5/2, 5/2, 7,2.

g_J(L = 0) = 2, g_J(L = 1) = 2/3, 4/3, g_J(L = 2) = 4/5, 6/5.

1.9.х. Чему равен эффективный момент атома , у которого L = 2, J = 3/2, S = 1/2?.

1.9.х.  = _Bg_J[J(J+1)]^1/2 = _B·2·15^1/2/5.

1.9.х. Чему равны множители Ланде для атомов с одним валентным электроном, у которых L = 1, 1, 2 ?

1.9.x. J = ± S = L ± 1/2 = 1/2, 3/2, 5/2, 5/2, 7/2.

g_J(L = 0) = 2, g_J(L = 1) = 2/3, 4/3, g_J(L = 2) = 4/5, 6/5.

1.9.х. В опыте Штерна- Гелаха узкий пучок атомов серебра, находящихся в нормальном состоянии, проходит со скоростью V = 1000 м/с сильно неоднородное поле протяженностью a1 = 4 см и падает на пластинку, расположенную на расстоянии a2 = 10 см от места выхода пучка из магнитного поля. Величина расщепления при этом равна b = 1 мм. Определить величину градиента магнитного поля.

1.9.х. Магнитный момент атома серебра определяется в основном состоянии величиной магнитного момента валентного электрона. Имеем по формуле равномерного и равноускоренного движения:

b/2 = (_B/M_at)(∂B/∂z)(a₁/V)²(1/2) + (_B/M_at)(∂B/∂z)(a₁/V)·(a₂/V),

∂B/∂z = bM_atV2/[_B(a₁² + 2a₁a₂)] ≈ 2·10⁵ Гс/см.

1.9.х. Найти расщепление терма ¹D₂ в магнитном поле в 20 000 Гс.

1.9.х. Имеем S = 0, L = 2, J = 2, нормальный эффект Зеемана:

W = B = 0,23·10 ^-3 эВ.

1.9.х. На сколько компонент расщепится в опыте Штерна и Герлаха пучок атомов, находящихся в состоянии ²D_3/2?

1.9.х. На четыре компоненты.