6. Многомерные функции распределения.

 

Определение 6.1

Пусть в данном эксперименте определены случайные величины  . Тогда каждому случайному событию   можно поставить в соответствие n-мерный случайный вектор (кортеж)

,

который задаёт отображение пространства исходов   в n-мерное действительное пространство  (т. е.  ) и для которого событие  - пространству событий.

Примеры случайных векторов.

 

Пример 1. Координаты точки попадания относительно центра мишени (X, Y);

 

Пример 2. При проверке микросхемы – параметры задержки сигналов и их уровней по n различным выходам  ;

 

Определение 6.2

Функцией распределения  n-мерного случайного вектора X (функцией совместного распределения случайных величин  ^{- NB}) называется неслучайная функция n действительных переменных   в n-мерном евклидовом пространстве  , определяемая как вероятность совместного выполнения n неравенств:

.

В частности для двухмерного случайного вектора (X, Y) имеем по определению:

F(x, y) = P {X<x, Y<y}.

 

В дальнейшем для компактности изображения будем оперировать только двумерными случайными величинами. Все полученные результаты могут быть распространены на любую размерность случайного вектора.

 

Свойства двумерной функции распределения F(x,y) случайного вектора (X,Y):

1)     F(x, y) – неубывающая функция  от x и y;

2)    0 ≤ F(x, y) ≤ 1;

3)    F(-∞, y) = 0; F(x, -∞) = 0;

4)     F(+∞, y) = F(y); F(x, +∞) = F(x), т. е. другая переменная может принимать любое значение от -∞ до +∞.

Это утверждение 4 устанавливает естественную связь между двумерной функцией распределения случайного вектора (X,Y) и функциями F(x) и F(y), которые называют одномерными (говорят также, частными или маргинальными) функциями распределения случайных величин X и Y.

5)    F-(∞, ∞) = 1;

6)     F(x, y) – непрерывна слева по x и y.

 

Вероятность попадания случайной точки на плоскость (X, Y) в прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат определяется как

  (*)

(Близко к идее формулы включения – исключения)

Эта область А дважды вычитается в F(x₁, y₂)  и F(x₂, y₁).

 

 

Определение 6.3

Вектор (X, Y) называется дискретным случайным вектором, если множество его возможных значений не более, чем счетное ( может быть пронумеровано натуральными числами 1, 2, 3,…).

Перечень возможных значений пар (x_i, y_j) и соответствующей им вероятности   определяет закон распределения двумерной СВ (X, Y).

F(x,y)=

Такое перечисление удобно представить в виде таблицы (табл. 1)

 

Таблица 1

Y X	y1	y2	…	ym	…	…	P{X=xi}=pi
x1	p11	p12	…	p1m	…	…
x2	p21	p22	…	p2m	…	…
…	…	…	…	…	…	…
xn	pn1	pn2	…	pnm	…	…
…	..	…	…	…	…	…
P{Y=yj}=Pj				…			1

Сумма всех удовлетворяет условию

Одномерные законы распределения были получены из двухмерных

Сумма по строке:

Сумма по столбцу:

 

Определение 6.4.

Условным законом распределения X при условии, что Y – приняло определенное значение Y=y_j, называют совокупность x_i и соответствующих им условных вероятностей:

.

 

Определение 6.5

Вектор (X, Y) называется непрерывным случайным вектором, если F(x, y) непрерывна на  R² и существует непрерывная неотрицательная функция f(x, y), называемая плотностью распределения вероятностей случайного вектора (X, Y) такая, что

.

Функцию   называют также совместной (двумерной) плотностью распределения случайных величин X и Y.

 

Свойства плотности распределения случайного вектора (X,Y).

Нетрудно доказать следующие свойства двумерной плотности распределения:

1)  ;

2)   - условие нормирования;

3)   в точках непрерывности f(x,y);

4)   ;            - плотности распределения по отдельным компонентам (смотри 4-е свойство двумерной функции распределенияF(x,y)).

Вероятность попадания случайной точки в область D:

.

В частном случае, если D – прямоугольник, то смотри формулу (*)

.

 

Определение 6.6.

Условной плотностью распределения вероятностей случайной компоненты X непрерывного случайного вектора (X, Y) при условии, что компонента Y приняла определенное значение y, причём  f(y)≠0, называется неотрицательная действительная функция

  формула умножения плотностей:

.

 

Определение 6.7

Случайные величины   называют независимыми в совокупности, если для любых 

В соответствии с определением функции совместного распределения случайных величин в их терминах для независимых случайных величин имеем:

.

 

Следствие. 

Для независимых случайных величин:

.

В частном случае :

.

Для дискретных СВ   при их независимости :

.