72 Свободные колебания в контуре без активног сопротивления

Колебания в контуре можно вызвать либо зарядив конденсатор, либо вызвав в индуктивности ток (например включив магнитное поле).

Поскольку активное сопротивление контура   , полная энергия остаётся постоянной. Если энергия конденсатора равна нулю, то энергия магнитного поля максимальна, и наоборот. Рассмотрим процессы, происходящие в колебательном контуре, в сравнении с колебаниями маятника (рис. 4.2).

Введем обозначение:   – собственная частота контура, отсюда получим основное уравнение колебаний в контуре:

.

(4.2.2)

Решением этого уравнения является выражение вида

.

(4.2.3)

Таким образом, заряд на обкладке конденсатора изменяется по гармоническому закону с собственной частотой контура ω₀.

Для периода колебаний справедлива формула Томсона:

 ,

.

(4.2.4)

Продифференцируем (4.2.3) по времени и получим выражение для тока:

.

(4.2.5)

Напряжение на конденсаторе отличается от заряда на 1/С:

.

(4.2.6)

Таким образом, ток опережает по фазе напряжение на конденсаторе на π/2. На индуктивности, наоборот, напряжение опережает ток на π/2.

   

,

(4.2.7)

где   – волновое сопротивление [Ом].

73. Свободные и затухающие колебания в контуре.

Колебательным контуром называется замкнутая цепь, содержащая катушку индуктивности с индуктивностью L и конденсатор с емкостью С. Если в цепи нет активного сопротивления R (резистора), то в контуре возможны гармонические (незатухающие) колебания тока I, заряда конденсатора q и напряжения на элементах.

Напряжение на конденсаторе:

ЭДС самоиндукции в катушке

НАПРЯЖЕНИЕ НА РЕЗИСТОРЕ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТОКА

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ свободных незатухающих колебаний

где w₀ = - собственная частота контура .

Период Т = 2p

Его решение q(t) = q_v cos(w₀ t + a), где a - начальная фаза.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ свободных затухающих колебаний

, где b = - коэффициент затухания.

Его решение q(t) = q_v0 е^-bt cos(wt + a), где - частота затухающих колебаний.

логарифмическим декрементном затухания –

ДОБРОТНОСТЬ контура равна Q =

74(Вынужденные электрические колебания)

Рассмотрим электромагнитный колебательный контур, в котором помимо ёмкости, индуктивности, сопротивления есть ещё и генератор переменного напряжения, то есть источник электрической энергии. Очевидно, что в таком контуре со временем (это время обычно мало) установятся вынужденные колебания тока с частотой генератора и с постоянной амплитудой; подвод энергии от генератора будет в точности компенсировать потери энергии на сопротивлении.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний заряда в электромагнитном контуре в стандартном (каноническом) виде получается следующим:

или