- •Энтропия идеального газа. Адиабатический процесс как изоэнтропный. Изменение энтропии при изопроцессах с идеальным газом
- •Импульс, масса, кинетическая энергия в рел. Механике. Релятивистское выражение для импульса
- •Осевой момент инерции
- •Теорема Гюйгенса-Штейнера
- •Центр инерции и его движение. Определение
- •[Править]Центры масс однородных фигур
- •[Править]в механике
- •[Править]Центр масс в релятивистской механике
- •[Править]Вычисление момента
- •Кинетическая энергия. Кинетическая энергия
Теорема Гюйгенса-Штейнера
Основная статья: Теорема Штейнера
Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит не только от массы, формы и размеров тела, но также от положения тела по отношению к этой оси. Согласнотеореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела Jc относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:
Если — момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела, то момент инерции относительно параллельной оси, расположенной на расстоянии от неё, равен
,
где — полная масса тела.
Например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен:
При вращении твердого тела относительно неподвижной оси каждый из его элементарных объемов массами mi опишет окружность соответствующих радиусов ri; при этом объем будет иметь соответствующую линейную скорость vi. Но так как мы рассматриваем абсолютно твердое тело, то угловая скорость вращения этих объемов одинакова: (1) Кинетическую энергию вращающегося тела найдем как сумму кинетических энергий его элементарных объемов: или Используя выражение (1), получаем где Jz - момент инерции тела относительно оси z. Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела (2) Из сравнения формулы (2) с выражением для кинетической энергии поступательно движущегося тела (T=mv2/2), мы видим, что момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении. Формула (2) справедлива для тела вращающегося вокруг неподвижной оси. В качеcтве примера напишем формулу для плоского движения тела, например цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости без скольжения. Его энергия движения складывается из энергии поступательного движения и энергии вращения: где m - масса катящегося тела; vc - скорость центра масс тела; Jc - момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс; ω - угловая скорость тела.
Центр инерции и его движение. Определение
Положение центра масс (центра инерции) системы материальных точек в классической механике определяется следующим образом:
где
— радиус-вектор центра масс,
— радиус-вектор i-й точки системы,
— масса i-й точки.
Для случая непрерывного распределения масс:
где:
— суммарная масса системы,
— объём,
— плотность.
Центр масс, таким образом, характеризует распределение массы по телу или системе частиц.
[Править]Центры масс однородных фигур
У отрезка — середина.
У многоугольников (как сплошных плоских фигур, так и каркасов):
У параллелограмма — пересечение диагоналей.
У треугольника — точка пересечения медиан (центроид).
У правильного многоугольника — центр поворотной симметрии.