Импульс, масса, кинетическая энергия в рел. Механике. Релятивистское выражение для импульса

       Найдем такое выражение для импульса, чтобы закон сохранения импульса был инвариантен к преобразованиям Лоренца при любых скоростях (как мы уже говорили, уравнения Ньютона не инвариантны к преобразованиям Лоренца и закон сохранения импульса в  k  выполняется, а в  k' – нет).

       Ньютоновское выражение для импульса    или  . Вот это выражение надо сделать инвариантным. Это возможно, если в него будут входить инвариантные величины. В выражении

(8.5.1)

m – постоянная величина – масса частицы в системе k (собственная масса частицы), инвариантная величина;  dt – интервал времени по часам неподвижного наблюдателя. Если заменить  dt  на   – собственное время частицы, тоже инвариантная величина, то получим инвариантное выражение для импульса  . Преобразуем это выражение с учетом того, что  :

или          .

(8.5.2)

       Это и есть релятивистское выражение для импульса. Из (8.5.2) следует, что никакое тело не может двигаться со скоростью большей или даже равной скорости света (при  υ→c знаменатель стремится к нулю, тогда  p→∞ , что невозможно в силу закона сохранения импульса).

При скоростях близких к скорости света масса тела увеличивается, становясь бесконечно большой при v = c.

Момент инерции. Момент инерции — скалярная физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).

Осевой момент инерции

Осевые моменты инерции некоторых тел.

Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется величина J_a, равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:

,

где:

• m_i — масса i-й точки,

• r_i — расстояние от i-й точки до оси.

Осевой момент инерции тела J_a является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.

,

где:

•  — масса малого элемента объёма тела  ,

•  — плотность,

•  — расстояние от элемента   до оси a.

Если тело однородно, то есть его плотность всюду одинакова, то

Моменты инерции однородных тел простейшей формы относительно некоторых осей вращения
Тело	Описание	Положение оси a	Момент инерции Ja
	Материальная точка массы m	На расстоянии r от точки, неподвижная
	Полый тонкостенный цилиндр или кольцо радиуса r и массы m	Ось цилиндра
	Сплошной цилиндр или диск радиуса r и массы m	Ось цилиндра
	Полый толстостенный цилиндр массы m с внешним радиусом r2 и внутренним радиусом r1	Ось цилиндра
	Сплошной цилиндр длины l, радиуса r и массы m	Ось перпендикулярна к цилиндру и проходит через его центр масс
	Полый тонкостенный цилиндр (кольцо) длины l, радиуса r и массы m	Ось перпендикулярна к цилиндру и проходит через его центр масс
	Прямой тонкий стержень длины l и массы m	Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его центр масс
	Прямой тонкий стержень длины l и массы m	Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его конец
	Тонкостенная сфера радиуса r и массы m	Ось проходит через центр сферы
	Шар радиуса r и массы m	Ось проходит через центр шара
	Конус радиуса r и массы m	Ось конуса
	Равнобедренный треугольник с высотой h, основанием a и массой m	Ось перпендикулярна плоскости треугольника и проходит через вершину
	Правильный треугольник со стороной a и массой m	Ось перпендикулярна плоскости треугольника и проходит через центр масс
	Квадрат со стороной a и массой m	Ось перпендикулярна плоскости квадрата и проходит через центр масс