25.Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых известны (независимые выборки)

Пусть генеральные совокупности X и Y распределены нормально, причем их дисперсии известны (например, из предшествующего опыта, или найдены теоретически). По независимым выборкам объемов п и т, извлеченным из этих совокупностей, найдены выборочные средние и .

Требуется по выборочным средним, при заданном уровне значимости , проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что генеральные средние (математические ожидания) рассматриваемых совокупностей равны между собой, т. е.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случайную величину Критерий Z — нормированная нормальная случайная величина.

Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы.

Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых неизвестны и одинаковы (малые независимые выборки)

Если предположить, что неизвестные генеральные дисперсии равны между собой, то можно построить критерий (Стьюдента) сравнения средних. Например, если сравниваются средние размеры двух партий деталей, изготовленных на одном и том же станке, то естественно допустить, что дисперсии контролируемых размеров одинаковы.

Если же нет оснований считать дисперсии одинаковыми, то прежде чем сравнивать средние, следует, пользуясь критерием Фишера-Снедекора, предварительно проверить гипотезу о равенстве генеральных дисперсий.

Итак, в предположении, что генеральные дисперсии одинаковы, требуется проверить нулевую гипотезу

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случайную величину

Доказано, что величина T, при справедливости нулевой гипотезы, имеет t-распределение Стьюдента с степенями свободы.

26.Сравнение выборочной средней и гипотетической генеральной средней нормальной совокупности

А. Дисперсия генеральной совокупности известна.

Пусть из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объема п и по ней найдена выборочная средняя , причем генеральная дисперсия известна Требуется по выборочной средней, при заданном уровне значимости, проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральной средней а гипотетическому значению а₀.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случайную величину которая распределена нормально, причем, при справедли­вости нулевой гипотезы,

1.Конкурирующая гипотеза

2.Конкурирующая гипотеза

3.Конкурирующая гипотеза

Б. Дисперсия генеральной совокупности неизвестна.

Если дисперсия генеральной совокупности неизвестна (например, в случае малых выборок), то в качестве критерия проверки нулевой гипотезы принимают случайную величину где s — «исправленное» среднее квадратическое отклоне­ние. Величина Т имеет распределение Стьюдента с k=n—1 степенями свободы

1.Конкурирующая гипотеза

по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости , помещенному в верхней строке таблицы, и числу степеней свободы k=n-1, найти критическую точку 2.Конкурирующая гипотеза по уровню значимости , помещенному в нижней строке таблицы (приложение 6), и числу степеней свободы k=n-1, находят критическую точку

3.Конкурирующая гипотеза

по уровню значимости , помещенному в нижней строке таблицы (приложение 6), и числу степеней свободы k=n-1, находят критическую точку ;