1.Классическое определение вероятности. Свойства вероятности. Статистическая вероятность. Геометрическая вероятность. Численная мера степени объективной возможности наступления события называется вероятностью события. Это определение, качественно отражающее понятие вероятности события, не является математическим. Чтобы оно стало таким, необходимо определить его количественно. Согласно классическому определению вероятность события А равна отношению числа случаев, благоприятствующих ему, к общему числу случаев, т.е. Р(А)=m/n, где Р(А)- вероятность события А;m-число случаев, благоприятствующих событию А;n-общее число случаев. Свойства вероятности событий:1) вероятность любого события заключена между нулем и единицей, т.е. 0≤Р(А)≤1; 2) вероятность достоверного события равна единице; 3) вероятность невозможного события равна нулю. Свойства очевидны, т.к. Р(А) = m/n, а число m благоприятствующих случаев для любого события удовлетворяет неравенству 0≤m≤n, для достоверного события равно n(m=n) и для невозможного события равно нулю (m=0). Статистической вероятностью события А называется относительная частота ( частость) появления этого события в nпроизведенных испытаниях, т.е. Р(с волной сверху)(А) =w(А)=m/n, где Р с волной сверху(А) – статистическая вероятность события А; W(А) – относительая частота (частость) события А; m- число испытаний, в которых появилось событие А;n- общее число испытаний. Геометрической вероятностью события А называется отношение меры области, благоприятствующей появлению события А, к мере всей области, т.е..Р(А)= mes g/mesG.

2.Для успешного решения задач с использованием классического определения вероятности необходимо знать основные правила и формулы комбинаторики – раздела математики, изучающего, в частности, методы решения комбинаторных задач – задач- задач на подсчет числа различных комбинаций. Правило суммы. Если элемент А₁ может быть выбран n₁ способами, элемент А₂ – другими n₂ способами, А₃ – отличными от первых двух n₃способами и т.д. , А_к – n_к способами, отличными от первых (к-1), то выбор одного из элементов :или А₁, или А₂…., или А_к может быть осуществлен n₁+n₂+…+n_к способами. Правило произведений. Если элемент А₁ может быть выбран n₁ способами, после каждого такого выбора элемент А₂ может быть выбран n₂ способами и т.д., после каждого (к-1) выбора элемент А_к может быть выбран n_к способами, то выбор всех элементов А₁, А₂, …,А_к в указанном порядке может быть осуществлен n₁,n₂…n_к способами. Если комбинации из n элементов по m отличаются либо составом элементов, либо порядком их расположения (либо и тем, и др), то такие комбинации наз. Размещениями из n элементов по m. Число размещения из n элементов по mравно А_n^m= n(n-1)(n-2)…(n-m+1)/m сомножителей или А_n^m=n!/(n-m)!. Если комбинации из n элементов m отличаются только составом элементов, то их наз.сочетаниями из n элементов по m.Число сочетаний из n элементов по m равно С_n^m= n!/m!(n-m)!. Если комбинации из n элементов отличаются только порядком расположения этих элементов, то их называют перестановками из n элементов. Число перестановок из n элементов равно Р_n=n!. Если в размещениях из n элементов по m некоторые из элементов (или все) могут оказаться одинаковыми, то такие размещения наз.размещениями с повторениями из n элементов по m, оно равно A_n^mс волной = n^m.Если в перестановках из общего числа n элементов есть k различных элементов, при этом 1-й элемент повторяется n₁ раз, 2-й элемент – n₂ раз, k –й элемент- n_k раз, причем n₁+n₂+…+n_k=n_, то такие перестановки наз.перестановками с повторениями из n элементов.Число перестановок с повторениями из n элементов равно Р_n(n₁,n₂,..,n_k)=n!/n₁!n₂!...n_k!. Числа, показывающие, сколько раз встречаются варианты из данного интервала, наз.частотами, а отношение их к общему числу наблюдений – частостями или относительными частотами,т.е. W_i=n_i/n.Устойчивость относительных частот – это означает, что в различных сериях испытаний относительная частота события изменяется незначительно (тем меньше, чем больше число испытаний), колеблясь около постоянного числа.

3. Теорема сложения несовместимых событий. Вероятность появления одного их двух несовместимых событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Следствие: Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместимых событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: Р(А1+А2+…+Аn)=Р(А1)+Р(А2)+…+Р(Аn).

Полная группа событий.

Полной группой событий в теории вероятностей называется система случайных событий такая, что в результате произведенного случайного эксперимента непременно произойдет одно из них. Сумма вероятностей всех событий в группе всегда равна Теорема. Сумма вероятностей событий А₁ , А₂ , ..., А_n , образующих полную группу, равна единице:Р (A₁) + Р (А₂) + ... + Р (А_n) = Противоположные события. Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из двух противоположных событий обозначено через A, то другое принято обозначать Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице: .

"Принцип практической невозможности маловероятных событий": если случайное событие имеет очень малую вероятность, то практически можно считать, что в единичном испытании это событие не наступит.

Достаточно малую вероятность, при которой (в данной определенной задаче) событие можно считать практически невозможным, называют уровнем значимости. На практике обычно принимают уровни значимости, заключенные между 0,01 и 0,05. Уровень значимости, равный 0,01, называют однопроцентным; уровень значимости, равный 0,02, называют двухпроцентным, и т. д. если событие А имеет вероятность, близкую к нулю, то вероятность противоположного события А близка к единице. С другой стороны, непоявление события А означает наступление противоположного события А. Таким образом, из принципа невозможности маловероятных событий вытекает следующее важное для приложений следствие: если случайное событие имеет вероятность, очень близкую к единице, то практически можно считать, что в единичном испытании это событие наступит

4. Условная вероятность - условной вероятностью Р_А(В) события В называется вероятность события В, найденная в предположении, что событие А уже наступило. Обозначается Ра(В) или Р(В/А).

Теорема умножения вероятностей: Вероятность совместного появления двух со­бытий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже произошло

Р(АВС…КL)=Р(А)*Ра(В)*Рав(С)…Равс..к(L)

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже произошло.

Событие В называют независимым от события А, если появления события А не изменяет вероятности события В, т.е. если условная вероятность события В равна его безусловной вероятности: Pa(B)=P(B); Pb(A)=P(A). Два события называют независимыми, если вероятность их совмещений равна произведению вероятностей этих событий; иначе события "зависимые". "Несколько событий называются независимыми", если каждые два из них независимы. Например события А,В,С попарно независимы, если независимы события А и В, А и С, В и С. "Теорема умножения для независимых событий" имеет вид P(AB)=P(A)*P(B), т.е. вероятность появления двух Теорема умножения вероятностей независимых событий 

где   - вероятность события B при условии, что произошло событие A.

независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Вероятность появления хотя бы одного события Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий А₁ , А₂ , ..., А_n , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий Р (A) = 1 — q₁q₂ ... q_n.

5. Теорема сложения вероятностей совместных событий. Формула полной вероятности. Вероятность гипотез. Формулы Байеса. Теорема сложения вероятностей совместных событий.

ТЕОРЕМА. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ)

Доказательство. Поскольку события А и В, по условию, совместны, то событие А+В наступит, если наступит одно из следующих трех несовместных событий: АВ, АВ или АВ. По теореме сложения вероятностей несовместных событий,

Р(А+В) = Р(АВ) + Р(АВ) + Р(АВ) (*)

Событие А произойдет, если наступит одно из двух несовместных событий: АВ или АВ. По теореме сложения вероятностей несовместных событий имеем

Р(А) = Р(АВ) + Р(АВ).

Отсюда, Р(АВ) = Р(А) – Р(АВ). (**)

Аналогично имеем Р(В) = Р(АВ) + Р(АВ).

Отсюда Р(АВ) = Р(В) – Р(АВ). (***)

Подставив (**) и (***) в (*), окончательно получим

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ)

Формула полной вероятности.

ТЕОРЕМА. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий В₁, В₂, …, В_п, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А: Р(А) = Р(В₁)Р_В1(А) + Р(В₂)Р_В2(А) + … Р(В_п)Р_Вп(А)

Эту формулу называют «формулой полной вероятности».

Доказательство. По условию, событие А может наступить, если наступит одно из несовместных событий В₁, В₂, …, В_п. Другими словами, появление события А означает осуществление одного, безразлично какого, из несовместных событий В₁А, В₂А, …, В_пА. Пользуясь для вычисления вероятности события А теоремой сложения, получим Р(А) = Р(В₁А) + Р(В₂А) + … Р(В_пА). (*)

Остается вычислить каждое из слагаемых. По теореме умножения вероятностей зависимых событий имеем

Р(В₁А) = Р(В₁)Р_В1(А); Р(В₂А) = Р(В₂)Р_В2(А); …; Р(В_пА) = Р(В_п)Р_Вп(А). Подставив правые части этих равенств в соотношение (*), получим формулу полной вероятности

Р(А) = Р(В₁)Р_В1(А) + Р(В₂)Р_В2(А) + … Р(В_п)Р_Вп(А)

Вероятность гипотез. Формулы Байеса.

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий В₁, В₂, …, В_п, образующих полную группу. Поскольку заранее не известно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Вероятность появления события А определяется по формуле полной вероятности

Р(А) = Р(В₁)Р_В1(А) + Р(В₂)Р_В2(А) + … Р(В_п)Р_Вп(А) (*)

Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие А. Поставим своей задачей определить, как изменились вероятности гипотез. Другими словами, будем искать условные вероятности Р_А (В₁), Р_А (В₂), …, Р_А (В_п).

Найдем сначала условную вероятность Р_А (В₁). По теореме умножения имеем Р(АВ₁) = Р(А)Р_А (В₁) = Р(В₁) Р_В1(А).

Отсюда, Р_А(В₁)= Р(В₁)Р_В1(А)

Заменив здесь Р(А) по формуле (*), получим

Р_А (В₁) = ___________Р(В₁)Р_В1(А)_________________

Р(В₁)Р_В1(А) + Р(В₂)Р_В2(А) + … Р(В_п)Р_Вп(А)

Аналогично выводятся формулы, определяющие условные вероятности остальных гипотез, т.е. условная вероятность любой гипотезы В_i(i = 1,2, …,n) может быть вычислена по формуле

Р_А (В_i) = ___________Р(В_i)Р_Вi(А)_________________

Р(В₁)Р_В1(А) + Р(В₂)Р_В2(А) + … Р(В_п)Р_Вп(А)

Полученные формулы называют формулами Байеса. Формулы Байеса позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.