f(x) |
F(x) |
1)sinx.dx
|
1)d(-cosx) 2)d 3)dlnx |
dx
Первообразная функция. Понятие неопределенного интеграла.
Опр.1
Если
(x)=f(x)
на множестве x,
для любого X,
то F(x)-называется
первообразной функции f(x).
Лемма:
Если f(x),
равняется 0 на некотором интервале, то
F(x)=C
на этом интервале. Теорема:
Если F(x)
- первообразная для f(x)
на X,
а
другая
первообразная, то
Опр.2. Множество всех первообразных функции, называется неопределенным интегралом.
Оснновные свойства неопределенных интегралов.
А)
.
Б)
В)
Г)
.
3. Таблица основных интегралов.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
+c;
17)
Непосредственное интегрирование.
Использование свойств интеграла и таблицы.
Метод подстановки
Замена под знаком интеграла.
Теорема: Если
то
Док-во.
Пример:
Метод интегрирования по частям. Циклические интегралы.
Если существует
первообразная для UV
и V
,
то существует интеграл
Циклические
интегралы:
(
;
)
– принимаются за U.
Интегрирование рациональных дробей.
P
и Q
– многочлен, причем n
– старшая степень, m
– это старшая степень знаменателя.
Опр.1.Если n
,
то дробь называется неправильной,
необходимо поделить числитель на
знаменатель и выделить целую часть.
Существует теорема,
утверждающая, что любой многочлен можно
представить в виде:
где:
- главный коэффициент при Х;
- корни многочлена;
Опр.2. Если n<m,
то дробь правильная. Для того, чтобы
проинтегрировать правильную дробь,
многочлен в знаменателе раскладывают
на множители. После чего, подынтегральную
функцию раскладывают на элементарные
дроби, для этого используют метод
неопределенных коэффициентов.
8) Интегрирование тригонометрических функций.
I.
II.
где m и n - четные числа находятся с помощью формул понижения степени:
III. Если хотя бы одно из чисел m или n - нечетное, то полагают (пусть m = 2k + 1)
Примеры:
IV.
или
dx
Замена : tgx=t или ctgx=t
=
=
=
=
=
+ C
= -
+ C
V. Универсальная тригонометрическая подстановка.
sinx
=
, cosx
=
, подстановка
= t
dx
=
=
= t+C = tg
+C
VI.
,
(2)
sinxdx
=
tgx
=
=
–
I
=
– I +
2I = +
I
=
+
9) Интегрирование иррациональных уравнений.
I.
, замена “a”:
ax+b-
Пример:
dx =
=
=
dt
= 2
dt
= 2
- 2
= 2t – 2arc
+ C = 2
- 2arctg
+C
II.
, замена:
или
,
замена:
,
dx
= -
Пример:
=
=
=
= -
= -
= -
= -
Тригонометрические подстановки в иррациональных интегралах.
III.
)dx
Замена:
x=a
sint,
dx=a
costdt
Пример:
=
=
=
=
dt
=
=
tg(arcsin
)
+ C
IV. )dx
Замена:
x=a
tgt,
dx
=
V. )dx
Замена:
x=
,
dx=
-
dt