
- •10) Геометрические приложения определённого интеграла: площади плоских фигур, длина кривых. Вычисление объёма тел, в том числе тел вращения.
- •11) Числовые ряды. Критерий Коши сходимости числового ряда. Следствие: необходимое условие сходимости ряда.
- •19. (Формула Коши-Адамара),
- •2 5. Определение двойного интеграла и его основные свойства.
- •Сведение двойного интеграла к повторному.
- •26. Тройной интеграл, сведение его к повторному.
- •27, Замена переменных в двойном интеграле. Пример: случай полярных координат.
- •28. Замена переменных в тройном интеграле. Примеры: случаи цилиндрических и сферических координат.
- •29. Вычисление площади гладкой поверхности, заданной параметрически и в явном виде. Элемент площади поверхности.
- •30. О пределение криволинейного интеграла первого рода, его основные свойства и вычисление.
- •Определение криволинейного интеграла второго рода, его основные свойства и вычисление. Связь с интегралом первого рода.
- •31. Формула Грина. Условия того, что криволинейный интеграл на плоскости не зависит от пути интегрирования.
- •32. О пределение поверхностного интеграла первого рода, его основные свойства и вычисление.
- •33. Теорема Гаусса-Остроградского, её запись в координатной и векторной (инвариантной) формах.
- •34. Теорема Стокса, её запись в координатной и векторной (инвариантной) формах.
- •35. Скалярное поле. Градиент скалярного поля и его свойства. Вычисление градиента в декартовых координатах.
- •Поток векторного поля через поверхность. Определение дивергенции векторного поля и её свойства. Вычисление дивергенции в декартовых координатах.
- •Соленоидальные векторные поля, условия соленоидальности.
- •Циркуляция векторного поля и ротор векторного поля. Вычисление ротора в декартовых координатах.
- •36. Оператор Гамильтона (набла), дифференциальные операции второго порядка, связь между ними.
- •37. Основные понятия, относящиеся к оду первого порядка: общее и частное решения, общий интеграл, интегральные кривые. Задача Коши, её геометрический смысл.
- •38. Интегрирование оду первого порядка с разделяющимися переменными и однородных.
- •39. Интегрирование линейных оду первого порядка и уравнений Бернулли.
- •40. Интегрирование оду первого порядка в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.
31. Формула Грина. Условия того, что криволинейный интеграл на плоскости не зависит от пути интегрирования.
Формула Грина:
Если C
– замкнутая граница области D
и функции P(x,y)
и Q(x,y)
вместе со своими частными производными
первого порядка
непрерывны в замкнутой области D
(включая границу C),
то справедлива формула Грина:
,
причем обход вокруг контура C
выбирается так, что область D
остается слева.
И
з
лекций:
Пусть заданы функции P(x,y)
и Q(x,y),
которые непрерывны в области D
вместе с частными производными первого
порядка. Интеграл по границе (L),
целиком лежащий в области D
и содержащий все точки в области D:
.
Положительное направление контура
такое, когда ограниченная часть контура
находится слева.
У
словие
независимости криволинейного интеграла
2-го рода от пути интегрирования.
Необходимым
и достаточным условием того, что
криволинейный интеграл первого рода,
соединяющий точки M1
и M2,
не зависит от пути интегрирования, а
зависит только от начальной и конечной
точек, является равенство:
.
.
.
.
32. О пределение поверхностного интеграла первого рода, его основные свойства и вычисление.
– задание поверхности.
Спроектируем S
на плоскость xy,
получим область D.
Разобьём область D
сеткой линий на части, называемые Di.
Из каждой точки каждой линии проведём
параллельные z
линии, тогда и S
разделится на Si.
Составим интегральную сумму:
.
Устремим максимум диаметра Di
к нулю:
,
получим:
Это поверхностный интеграл первого рода
Так считается поверхностный интеграл первого рода.
Определение вкратце. Если существует конечный предел интегральной суммы, не зависящий от способа разбиения S на элементарные участки Si и от выбора точек, то он называется поверхностным интегралом первого рода.
При переходе от переменных x и y к u и v:
Поверхностный интеграл обладает всеми свойствами обычного интеграла. См. в вопросах выше.
Определение поверхностного интеграла второго рода, его основные свойства и вычисление. Связь с интегралом первого рода.
П
усть
задана поверхность S,
ограниченная линией L
(рис. 3.10). Возьмём на поверхности S
какой-нибудь контур L,
не имеющий общих точек с границей L.
В точке М контура L
можно восстановить две нормали
и
к поверхности S.
Выберем какое-либо одно из этих
направлений. Обводим точку M
по контуру L
с выбранным направлением нормали.
Если в исходное
положение точка M
вернётся с тем же направлением нормали
(а не с противоположным), то поверхность
S
называют двусторонней.
Мы будем рассматривать только двусторонние
поверхности. Двусторонней поверхностью
является всякая гладкая поверхность с
уравнением
.
Пусть S – двусторонняя незамкнутая поверхность, ограниченная линией L, не имеющей точек самопересечения. Выберем определённую сторону поверхности. Будем называть положительным направлением обхода контура L такое направление, при движении по которому по выбранной стороне поверхности сама поверхность остаётся слева. Двусторонняя поверхность с установленным на ней таким образом положительным направлением обхода контуров называется ориентированной поверхностью.
Перейдём к построению поверхностного интеграла второго рода. Возьмём в пространстве двустороннюю поверхность S, состоящую из конечного числа кусков, каждый из которых задан уравнением вида или является цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Oz.
Пусть R(x,y,z)
– функция, опредёленная и непрерывная
на поверхности S.
Сетью линий разбиваем S
произвольным образом на n
"элементарных" участков ΔS1,
ΔS2,
..., ΔSi,
..., ΔSn,
не имеющих общих внутренних точек. На
каждом участке ΔSi
произвольным образом выберем точку
Mi(xi,yi,zi)
(i=1,...,n).
Пусть (ΔSi)xy
– площадь проекции участка ΔSi
на координатную плоскость Оху,
взятая со знаком "+",
если нормаль к поверхности S
в точке Mi(xi,yi,zi)
(i=1,...,n)
образует с осью Oz
острый угол, и со знаком "–",
если этот угол тупой. Составим интегральную
сумму для функции R(x,y,z)
по поверхности S
по переменным x,y:
.
Пусть λ
– наибольший из диаметров ΔSi
(i = 1, ..., n).
Если существует
конечный предел
,
не зависящий
от способа разбиения поверхности S
на "элементарные" участки ΔSi
и от выбора точек
,
то он называется поверхностным
интегралом
по выбранной стороне поверхности S
от функции R(x,y,z)
по координатам х,
у (или
поверхностным
интегралом второго рода)
и обозначается
.
Аналогично можно
построить поверхностные интегралы по
координатам x,
z или у,
z по
соответствующей стороне поверхности,
т. е.
и
.
Если существуют
все эти интегралы, то можно ввести
"общий" интеграл по выбранной
стороне поверхности:
.
Поверхностный интеграл второго рода обладает обычными свойствами интеграла. Заметим лишь, что любой поверхностный интеграл второго рода изменяет знак при перемене стороны поверхности.
Связь между поверхностными интегралами первого и второго рода.
Пусть поверхность
S
задана уравнением: z
= f(x,y), причем
f(x,y), f'x(x,y),
f'y(x,y)
— непрерывные функции в замкнутой
области τ
(проекции поверхности S
на координатную плоскость Оху),
а функция R(x,y,z)
непрерывна на поверхности S.
Нормаль к поверхности S,
имеющая направляющие косинусы cos
α, cos
β, cos
γ,
выбрана к верхней стороне поверхности
S.
Тогда
.
Для общего случая имеем:
=