- •10) Геометрические приложения определённого интеграла: площади плоских фигур, длина кривых. Вычисление объёма тел, в том числе тел вращения.
- •11) Числовые ряды. Критерий Коши сходимости числового ряда. Следствие: необходимое условие сходимости ряда.
- •19. (Формула Коши-Адамара),
- •2 5. Определение двойного интеграла и его основные свойства.
- •Сведение двойного интеграла к повторному.
- •26. Тройной интеграл, сведение его к повторному.
- •27, Замена переменных в двойном интеграле. Пример: случай полярных координат.
- •28. Замена переменных в тройном интеграле. Примеры: случаи цилиндрических и сферических координат.
- •29. Вычисление площади гладкой поверхности, заданной параметрически и в явном виде. Элемент площади поверхности.
- •30. О пределение криволинейного интеграла первого рода, его основные свойства и вычисление.
- •Определение криволинейного интеграла второго рода, его основные свойства и вычисление. Связь с интегралом первого рода.
- •31. Формула Грина. Условия того, что криволинейный интеграл на плоскости не зависит от пути интегрирования.
- •32. О пределение поверхностного интеграла первого рода, его основные свойства и вычисление.
- •33. Теорема Гаусса-Остроградского, её запись в координатной и векторной (инвариантной) формах.
- •34. Теорема Стокса, её запись в координатной и векторной (инвариантной) формах.
- •35. Скалярное поле. Градиент скалярного поля и его свойства. Вычисление градиента в декартовых координатах.
- •Поток векторного поля через поверхность. Определение дивергенции векторного поля и её свойства. Вычисление дивергенции в декартовых координатах.
- •Соленоидальные векторные поля, условия соленоидальности.
- •Циркуляция векторного поля и ротор векторного поля. Вычисление ротора в декартовых координатах.
- •36. Оператор Гамильтона (набла), дифференциальные операции второго порядка, связь между ними.
- •37. Основные понятия, относящиеся к оду первого порядка: общее и частное решения, общий интеграл, интегральные кривые. Задача Коши, её геометрический смысл.
- •38. Интегрирование оду первого порядка с разделяющимися переменными и однородных.
- •39. Интегрирование линейных оду первого порядка и уравнений Бернулли.
- •40. Интегрирование оду первого порядка в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.
27, Замена переменных в двойном интеграле. Пример: случай полярных координат.
Замена переменных в произвольном двойном интеграле.
Вычислим интеграл , используя замену переменных . Рассмотрим интеграл как предел интегральных сумм. Область (D) сеткой кривых разделяется на частичные области Di, внутри каждой частичной области берём произвольные точки (xi, yi). Составляем интегральную сумму: , где Di – площадь i-ой частичной области. Устремим максимальный диаметр к нулю: . По определению, . Совершим замену переменных (*). При замене (*) площадь .
Если , то и , следовательно,
– якобиан преобразования (*).
П ример с полярными координатами.
28. Замена переменных в тройном интеграле. Примеры: случаи цилиндрических и сферических координат.
Замена переменных в тройном интеграле в общем случае.
П усть имеется тело (V) с границей (S).
Пусть , тогда .
Замена:
П реобразование (*) будем считать взаимно-однозначным, то есть всё можно выразить друг через друга, а именно:
Пусть поверхность (Λ) задаётся параметрически, то есть:
Получаем параметрическое задание поверхности (S) (см. рис. ниже).
Два последних двойных интеграла равны, так как:
Применим к последнему выражению формулу Гаусса-Остроградского, то есть эту формулу: .
Пусть , , , тогда:
Выражение в скобках равно нулю. Оставшееся выражение запишем так:
Это якобиан преобразования. Окончательно получаем:
А для общего случая:
Ц илиндрические координаты:
Переходим от координаты M(x,y,z) к M(ρ,φ,z). Это цилиндрические координаты, где:
Получаем, что .
С ферические координаты:
Получаем элемент объёма сферических координат: .
29. Вычисление площади гладкой поверхности, заданной параметрически и в явном виде. Элемент площади поверхности.
Р ассмотрим кусок поверхности S, заданной уравнением F=(x,y,z)=0. Пусть выполняется условие , что означает, что в каждой точке поверхности существует нормаль с направляющим вектором . Разобьем поверхность S сеткой гладких кривых на элементарные области (разбиение Z). Пусть – наибольший из диаметров элементарных областей. Если независимо от разбиения Z существует , то он и называется площадью данной поверхности. Пусть S однозначно проектируется на плоскость xy и G – это проекция. Элементу площади dxdy области G на плоскости xy соответствует элемент площади поверхности S, равный , где – угол между нормалью к поверхности S и осью Z. Поэтому вычисление площади поверхности сводится к вычислению двойного интеграла по проекции поверхности на плоскость. Если поверхность задана уравнением , , а нормаль представляет собой градиент функции, то есть: , то и площадь поверхности вычисляется по формуле:
, здесь G – проекция поверхности S на плоскость xy.
Если поверхность однозначно проектируется на другие координатные плоскости, то соответственно изменится формула вычисления площади поверхности.
Если кривая задана параметрическими уравнениями и , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми и и отрезком [a,b] оси Ox, выражается формулой где определяются из уравнений
Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением и двумя полярными радиусами находится по формуле
.