Шкалы измерений признаков.

Измерение – присвоение символов элементам совокупности.

Символы могут быть числовыми или символьными

4 Типа шкал измерений:

• Шкала наименований (например: пол [можем сказать, что пол одного индивида отличен от другого])

• Порядковая шкала (например: социальное положение [можем сказать, что положения отличны и выше, чем у другого])

• Интервальная шкала (например: интервальная шкала [можем сказать, что температура одного отлична от другого, что она выше и на сколько выше])

• Шкала отношений (например: рост [можем сказать, что температура одного отлична от другого, что она выше, на сколько выше и во сколько раз выше])

Группировки статистических данных.

Группировка – разделение всей совокупности объектов на однородные группы по какому-либо признаку.

Для проведения группировки следует:

• Задать признак

• Определить число выделяемых групп. Если признак качественный, то число групп равно числу значений признаков. Если признак количественный, то число групп задается исследователем

• Выбрать статистические показатели групп

Понятие средней величины, виды и формы средних величин.

Средняя величина – обобщающая характеристика изучаемого признака в исследуемой совокупности.

Она отражает типичный уровень признака в расчете на единицу совокупности в конкретных условиях места и времени (например: средний доход на 1-го рабочего; число детей на 1-го учителя).

Средняя величина, рассчитанная по совокупности, называют общей средней.

Средняя величина, исчисляемая для каждой группы, называют групповой.

Существует 2 категории средних величин: степенные и структурные средние.

Простые средние: среднее арифметическое X̅₁=(1/n)*(ΣX_i), если k=1; среднее квадратическое X̅₂=((1/n)*(ΣX_i²))^1/2 если k=2; среднее гармоническое X̅_-1=((1/n)*(Σ1/X_i))^-1 если k=-1; среднее геометрическое X̅₀=(X₁…X_n)^1/2=(ПХ_i)^1/n если k=0.

Взвешенные средние: среднее взвешенное арифметическое X̅=(ΣX_i*f_i)/Σf_i; среднее взвешенное квадратическое X̅=((ΣX_i²*f_i)/Σf_i)^1/2; среднее взвешенное гармоническое; среднее взвешенное геометрическое X̅=(X₁^f1…X_n^fn)^1/Σfi

Вариационный ряд и его показатели (мода, медиана, коэффициенты .асимметрии и

эксцесса).

Вариация – различие в значениях признака единиц совокупностей в один и тот же момент времени.

Варианта – значение признака.

Вариационный ряд – упорядоченное распределение единиц совокупности по возрастающим значениям признака.

Мода – это наиболее часто встречающиеся значения признака.

Медиана – это такое значение признака, которое делит вариационный ряд пополам, так что одна половина значений ряда больше медиана, а другая – меньше.

Коэффициент эксцесса - разброс значений нашего распределения относительно нормального. Чем меньше коэффициент эксцесса, тем меньше разброс.

Коэффициент асимметрии - ??? если асимметрия вправо, то она >0; если влево, то <0

Показатели размера и интенсивности вариации.

Размах: R=maxX – minX

Среднее линейное отклонение: d= (Σ|X_i- X̅|*f_i)/ Σf_i

Среднее квадратическое отклонение: ϭ =((Σ(X_i- X̅)²*f_i)/ Σf_i)^1/2

Дисперсия: ϭ² =(Σ(X_i- X̅)²*f_i)/ Σf_i

Коэффициент вариации: V= ϭ/ X̅

Коэффициент осцилляции: ν=R/ X̅

Выборочное наблюдение, повторный и бесповторный отбор, ошибки выборки.

Статистическое наблюдение – научно-организационный способ сбора информации о статистической совокупности.

Выборочное наблюдение – вид статистического наблюдения, при котором обследованию подвергается только часть совокупности.

Повторная выборка – выбор с возвращением [1/N]

Бесповторная выборка – выборка без возвращения [1/(N-1); 1/(N-2)…]

Ошибки выборки: Средняя; предельная; относительная.

Средняя ошибка выборочной средней для повторной выборки: µ_Х̂=√(ϭ²/n), ϭ²- дисперсия признака Х генеральной совокупности. ϭ²=(1/N) Σ(X_i-X̅), i=1…N

Средняя ошибка доли повторной выборки: µ_р̂= √(р(р-1)/n)

Средняя ошибка выборочной средней бесповторной выборки: µ_Х̂=√((ϭ²/n)*(1-n/N))

Средняя ошибка доли бесповторной выборки: µ_р̂= √((р(р-1)/n )*(1-n/N))

Предельная ошибка выборочной средней для повторной выборки: Δ_Х̂=t*µ_Х̂; P{|X̅ - Х̂|≤t*µ_Х̂}=ɣ - доверительная вероятность

Предельная ошибка доли бесповторной выборки: Δ_р̂=t*µ_р̂

Относительная ошибка выборочной средней для повторной выборки: n=t²ν²/Δ²_отн

Относительная ошибка выборочной средней для бесповторной выборки: n=(t²ν²)/(Δ²_отн+ t²ν²/N)

Доверительные интервалы для параметров генеральной совокупности.

Необходимый объем наблюдений при заданной точности расчета и уровня доверия.

Вычисление необходимого объема выборки для повторной: Δ_Х̂=t*√(ϭ²/n); ϭ при нормальном распределении = 1/6*(Х_макс-Х_мин)

Для бесповторной: Δ_Х̂=t*√((ϭ²/n) *(1-n/N))

Формы организации выборочного наблюдения.

Статистическая связь, парная корреляция, коэффициент корреляции Пирсона.

Статистическая связь – связь между признаками, проявляющаяся для массовых явлений.

Корреляционная связь – когда среднее значение одной переменной изменится при изменении другой.

Коэффициент корреляции Пирсона: ρ̂(X,Y)=(X̅Y̅ - X̅*Y̅)/((√(X̅²-(X̅)²)* (√(Y̅²-(Y̅)²)))

X̅=1/n*ΣX_i ; Y̅=1/n*ΣY_i ; X̅Y̅=1/n*ΣX_iY_i ; X̅²=1/n*ΣX_i² ; Y̅²=1/n*ΣY_i² ; (X̅)²=(1/n*ΣX_i)² ; (Y̅)²=(1/n*ΣY_i)²

Коэффициент корреляции – мера линейной связи между переменными X и Y. -1≤ ρ̂≤1; ρ̂-безразмерная величина

Y=a+bX; ρ̂=1, если b>0; ρ̂=-1, если b<0; если ρ̂=0, то X и Y – неколлерируемые; если X и Y независимые, то ρ̂=0, наоборот не действует. F(x;y)=F_X(x)*F_Y(y) – это означает независимость X и Y.

Ранговый коэффициент корреляции Спирмена.

Ранг – номер элемента в вариационном ряде

X_i соответствует R_i ; Y_i соответствует S_i

Если подставить в коэффициент корреляции Спирмена вместо X и Y, R_i и S_i, то после вычислений придём к формуле: r(X;Y)=1-(6*Σ(R_i - S_i)²/n(n²-1))

Уравнение парной регрессии. Метод наименьших квадратов.

Парная регрессия - мера связи между переменными X и Y.

МНК: Q(a,b)=Σ(Y_i-a-bX_i)²- нужно подобрать â и b̂ такие, что бы minQ(a;b)=Q(â;b̂), т.е. что бы ошибка была минимальной.

â=Y̅-b̂X̅

b̂=(X̅Y̅ - X̅*Y̅)/√(X̅²-(X̅)²)

Через эти 2 точки проводим прямую на диаграмме рассеивания (поле корреляции)

Частная корреляция.

Частный коэффициент корреляции - это мера линейной зависимости между двумя переменными, из некоторой совокупности, когда исключено влияние остальных переменных (случайные величины).

Таблица сопряженности двух признаков. Критерий независимости признаков хи-

квадрат. Коэффициенты взаимной сопряженности.

Понятие индекса, виды индексов.

Индекс – показатель сравнения двух состояний одного и того же явления и представляет собой относительную величину. Состояния рассматриваются по времени, в пространстве или в соответствии с планом.

Каждый индекс включает данные за два периода: отчетный (1) и базисный (0)

Рассмотрим следующую систему признаков: q – объем продаж p – цена w=qp – выручка от реализации

Виды индексов:

Индивидуальные – рассчитываются по отдельным единицам совокупности: i_q=q¹/q⁰; i_p=p¹/p⁰; i_w=w¹/w⁰

Обобщенные – отражают изменение обобщенных величин по всей совокупности, позволяет соизмерить разнообразные элементы совокупности: I_w=Σw_k¹/ Σw_k⁰= Σp_k¹q_k¹/ Σp_k⁰/ Σq_k⁰

Простые - признак изучается без учета связи с другими признаками.

Аналитические - признак рассматривается во взаимосвязи с другими; они выполняют аналитическую функцию: позволяют измерять вклад отдельных факторов в совокупное изменение результата.

Агрегатные признаки – содержит признак –вес, который позволяет обобщить разнообразные элементы совокупности.

Индекс объема продаж Ласпейреса: I_q^Л= Σp_k⁰q_k¹/ Σp_k⁰q_k⁰

Индекс цен Ласпейреса: I_p^Л= Σp_k¹q_k⁰/ Σp_k⁰Σq_k⁰

Индекс объема продаж Пааше: I_q^П= Σp_k¹q_k¹/ Σp_k¹Σq_k⁰

Индекс цен Пааше: I_p^П= Σp_k¹q_k¹/ Σp_k⁰Σq_k¹

Индекс объема продаж Фишера: I_q^Ф= √( I_p^Л* I_q^П)

Индекс цен Фишера: I_p^Ф= √( I_p^Л* I_p^П)

Агрегатные индексы, абсолютные изменения за счет отдельных факторов

Индексы переменного и постоянного состава, индекс структуры.

Индекс переменного состава служит для изучения динамики средних величин и выявления факторов влияющих на динамику средневзвешенных: I_перем=X̅¹/X̅⁰=ΣX_k­¹d_k¹/ΣX_k⁰d_k⁰; d=f/Σf

Он характеризует изменение среднего уровня признака (Х), за счет влияния двух факторов:

• Изменение значений усредняемого признака (Х) о отдельных элементов совокупности

• Структурных изменений (изменения доли отдельных единиц совокупности в общей их численности) –признак d

Индекс постоянного состава показывает средний размер изменения изучаемого признака (Х) у отдельных единиц совокупности, при изоляции действия второго фактора: I_пост= ΣX_k­¹d_k¹/ΣX_k⁰d_k¹

Индекс структуры характеризует влияние изменения структуры изучаемой совокупности на динамику среднего уровня признака: I_структ= ΣX_k­⁰d_k¹/ΣX_k⁰d_k⁰

I_перем= I_пост* I_структ