7. Смешанное произв-е (опр-е, вычисл-е, св-ва)

Если вектор умнож. векторно на а результ. скалярно умнож. на , то получ. число назыв. смеш. произв-ем векторов , .

Тh. Смеш. произв-е некомпл. векторов , по абсол. величине равно объёму парал-пипеда, постр. на этих векторах, привед. к одному началу.

Д-во:

,

, если – прав.

, если - лев.

Следствие 1:

[ ]* =[ ]* = * , аоск. тройки векторов , , , имеют одинак. ориентацию (циклич. перестан. знака не меняет). Не циклич. перестан. в смеш. произв. привод.

Следствие 2 (критерий компланарности 3-х векторов):

Необх. и дост-ным услов. компланарности 3-х векторов явл. рав-во 0 их смеш. произв-я.

,

Th. Если 3 вектора (x1,y1,z1), (x2,y2,z2), (x3,y3,z3) зад. своими коорд., то смеш. произв. =

Д-во:

=

=

Следствие:

,

8. Афинная сист. Коорд. На плоск. И в простр. Декарт. Сист. Корд. Деление отрезка в зад. Отношении

В L (мн-во всех векторов, паралл. плоск-ти) сущ. беск. мн-во базисов.

Совокупн. нек. т. О и базисн. векторов. образ. сист. корд. О , назыв. аффинной сист. корд.

Коорд-ми т. М (x,y) назыв. числа x и y, такие, что (1), х – абсцисса т. М, у – ордината т.М

При выбр. сист. корд. кажд. т. М плоск имеет корд. x,y, причем, если т. M1(x1,y1), M2(x2,y2) различны, то пары чисел (x1,y1) (x2,y2), т.е. (x1 x2 или y1 y2), и наоборот, для кажд. упорядоч. пары x,y можно указ. т., имеющ. данные корд-ты.

, , то на осях корд. Ох и Оу сущ. соотв. т. М1, М2, такие, что , (2)

Из (1) (3)

Польз. рав-вами (2), строим т. М1, М2.

Проведя ч-з эти т. прямые, парал. корд. осям, находим их т. пересеч., кот согласно ф-ле (3) будет т. М

Пусть в кач-ве базиса выбр. 3 взаимно перп. единичн. вектора

, векторы - базисные орты

Получ. сист. корд. назыв. прямоуг. декарт. сист. коорд. Коорд. люб. вектора в этом базисе назыв. декарт. коорд. вектора.

Коорд. т. М в ДСК по осям ОХ,. OY, OZ назыв. соотв. абсциссой, ординатой и аппликатой.

Декартовы прямоуг. корд-ты x,y,z вектора равны проекциям этого вектора на оси OX, OY, OZ:

,

где - углы, кот. сост. вектор с корд. осями OX, OY, OZ, при этом назыв. направл. косинусами этого вектора.

– вектор единичн. длины и данного направл. вектора

,

Для направл. косинусов справ-во соотнош-е

Т. M(x,y) делит отрезок M1M2 в отношении λ, если

– коорд. т. М

Если М – середина М1М2

Замечание:

М1М2

9. Ориентация плоскости

10. Угол м-у векторами на ориентир. Плоск-ти

Пусть - ненулев. векторы. Отложим от произв. т. О векторы . Угол м-у лучами ОА и ОВ назыв. углом м-у векторами .

Пусть заданы в опр. порядке.

Если векторы не коллинеарны, то направл. (ориентированным) углом м-у векторами назыв. величина , если базис - правый, и , если левый.

Если векторы одинак. направл., то направл. угол м-у ними счит. равным 0, а если противоположн. направл., то

Т.о. для люб. ненулев. векторов -

Т.к. направл. угол =- , и если векторы не коллинеарны, то = - , =cos ,

Если векторы - произв., ненулев., то можно д-ть, что

= -

=cos

=

=cos

Th. Коорд-ты (а1,а2) произв. ненулев. вектора в ортонормир. правом базисе i,j вычисл. по ф-ле

Д-во:

Обе части скалярно умнож. на вектор .

, ( )

Следствие:

Единичн. вектор в ортонормир. базисе имеет координаты .

11. Ф-лы преобраз. корд. на плоск. Преобраз-е прямоуг. сист. корд. Полярные корд.