3. Th о коллинеарн. Векторах. Th о компланарн. Веторах
Th1. Система двух не нулевых векторов и ЛЗ т.т.т.к. векторы коллинеарны.
Д-во:
1. Необход.
,
- ЛЗ => (Ǝ
β≠0)(λ
+
=
)
=>
≠0, ≠0
β
=-λ
=>
=-
*
=λ*
=>
||
2. Дост-ть.
-----
Th2. Система 3-х векторов ЛЗ тттк вектора компланарны.
Th3. Система 4-х векторов всегда ЛЗ.
4. Th о разлож. Вектора по некомпланарн. Векторам. Коорд. Вектора. Ортонормир. Базис.
Базисом в пр-ве назыв. 3 некомпл. вектора, взятых в опред. порядке. Базисом на плоск. назыв. 2 неколлин. вектора на этой плоск., взятых в опред. порядке. Базисом на прямой назыв. люб. ненулев. вектор этой прямой.
Th. Кажд. вектор м. б. разложен по базису в пр-ве и это разложение единств.
Пусть
,
некомпланарные
=
λ
- геометрич. пред. собой простр. диагоналей параллепипеда построен. на векторах ,
=(λ,β,γ)-координаты в базисе
Системой коорд. в пр-ве назыв. совокупность базиса , и нек. т. О назыв. началом корд.
Вектор
,
идущ. из нач. корд. в т. М назыв.
радиус-вектором
т. М. Координатами
т. М (α,β,γ) назыв.
корд. вектора
(α,β,γ)
Базис называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и равны единице.
Два вектора называются ортогональными, если угол между ними равен прямому углу.
5. Скалярн. Произв-е векторов. Применение скалярн. Произв-я
Углом
м-у векторами
и
,
назыв. наименьш. угол, на кот. надо
повернуть вектор
до совмещ. с вектором
Скалярн. произв-ем двух векторов назыв. число, равное произв-ю длин этих векторов на cos угла м-у ними/
Замечание:
Если
1 из векторов нулевой,
Св-ва
(
,
)=(
,
)
(λ
,
)=(
λ
)=λ(
,
)
3
*(
)=(
*
)+(
*
)
4.
если
то (
)>0
и (
)=0
если
Приложение скалярного произведения
1.
(
)=
=|
|*cos(
)=|
*cos0=
=>
=
=
=>|
=
2.
3. связь с проекциями
=|
*
cos(
,
)=
=|
|*
cos(
,
)=
4. Необх. и дост. услов. перп-сти двух ненулев. векторов явл. рав-во 0 их скалярн. произв-я
((
)=90)
*
=0
6. Векторное произв-е (опр-е, вычисл-е, св-ва)
Упорядоч. тройка некомпл. векторов , привед. к одному началу, назыв. правой, если из конца вектора кратчайш. поворот 1-го вектора ко 2-ому вектору виден совершаемым против часовой стрелки, в противн. случ. назыв. левой.
Сист. корд. назыв. правой, если её базисные векторы образ. правую тройку.
При
переест. местами двух соседних векторов
ориентация тройки меняется. Если тройка
,
– правая, то
– левая
При круговой переест. векторов ориентация тройки не меняется.
Векторн.
произв-ем вектора
на
назыв. вектор
=
если вып. услов.
1.
|
|=|
|=
*sin(
,
)
2. Тройка векторов , явл. правой
3. Вектор ортогонален к кажд. из векторов ,
Замечание:
| |=| |=S парал-ма, постр. на векторах и
Св-ва:
1.
[
]=-[
]
2. [λ ]=λ[ ]
3.
=
+
4.
=
Th
1.
Необх. и
дост. услов. коллин-ти двух векторов
явл. рав-во
их
вект. произв-я,
=
Д-во:
-----
Th 2. Если 2 вектора (x1,y1,z1) и (x2,y2,z2) зад. своими корд., то их вект. произв-е имеет вид
|
|=|
|=
Д-во:
- правая
+
Следствие:
Если 2 вектора (x1,y1,z1) и (x2,y2,z2) коллинеарн., то их корд. пропорцион.