- •«Введение в математический анализ»
- •1) Опр. Числовой последовательностью называется отображение множества натуральных чисел n во множество
- •Основные характеристики числовых последовательностей:
- •4) Опр. Функцией или отображением множества X во множество y, называется правило f по которому, каждому элементу X множества X поставлен в соответствие единственный элемент y множества y.
- •Способы задания функции:
- •5) Функция называется явно заданной, если она задана формулой , в которой правая часть не содержит зависимой переменной. Пример: .
- •Свойства бесконечно малых функций:
- •Алгоритм устранения неопределенности основных функций:
- •15) Опр. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке и ее значение равно пределу функции в этой точке:
- •Свойства функции непрерывности в точке:
Свойства бесконечно малых функций:
- Алгебраическая сумма бесконечно малых при функций, является бесконечно малой функцией.
- Произведение конечного числа бесконечно малых при функций, является бесконечно малой функцией.
- Произведение бесконечно малой при функции и ограниченной в некоторой окрестности точки функции является бесконечно малой функцией.
Теорема: Если функция при имеет предел равный а, то ее можно представить в виде суммы числа а и некоторой бесконечно малой при функции , то .
11) Функция называется бесконечно большой функцией при , если для любого положительного числа существует такое положительное число , что для всех неравных и удовлетворяющих условию , выполняется неравенство . Функция y=f(x) называется бесконечно большой функцией при , если для любого положительного числа существует такое положительное лицо , что для всех х удовлетворяющих условию , выполняется неравенство
Если , есть бесконечно малая при ( ) функция, то функция будет бесконечно большой при ( ) функцией (и обратно).
Опр. Функция называется бесконечно малой функцией при , если для любого положительного числа существует такое положительное число , что для всех и удовлетворяющих условию выполняется неравенство
Опр. Функция называется бесконечно большой функцией при , если для любого положительного числа существует такое положительное число , что для всех удовлетворяющих условию выполняется неравенство
Теорема: Если есть бесконечно малая при , то функция будет бесконечно большой при функцией.
Обр. утв. Если функция бесконечно большая при , то будет бесконечно большой при функцией.
12) , , , , , и др.
Алгоритм устранения неопределенности основных функций:
, где и – целые рациональные функции и . В этом случае, имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия разлагаем числитель и знаменатель дроби.
, где и – рациональные функции. В этом случае, имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия выносим за скобку в числителе и знаменателе дроби x с наибольшим показателем, среди всех слагаемых дроби.
, где или – иррациональная функция и . В этом случае, имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия умножаем числитель и знаменатель дроби на одно и то же выражение, приводящее к формулам сокращенного умножения. В случае квадратного корня, на сопряженное иррациональное выражение, приводящее к разности квадратов.
13) Опр. Первым замечательным пределом называется , применяется при раскрытии неопределенности вида от выражений содержащих тригонометрические или обратные тригонометрические функции;
вторым замечательным пределом называется , применяется для раскрытия неопределенности вида от выражений содержащих степенно-показательную функцию.
14) Рассмотрим две бесконечно малые при функции и , если , где , то функции и , называются бесконечно малыми функциями одного порядка при .
Если , то функция называется бесконечно малой более высокого порядка, по сравнению с функцией при .
Если , то функция называется бесконечно малой более высокого порядка, по сравнению с функцией при .
Опр. Бесконечно малые при функции и , называются эквивалентными, бесконечно малыми при , если .
Если бесконечно малая при функция, то верны следующие эквивалентности:
Теорема: Предел отношения двух бесконечно малых функций не измениться, если каждую или одну из них заменить эквивалентной ей бесконечно малой функцией.