- •«Введение в математический анализ»
- •1) Опр. Числовой последовательностью называется отображение множества натуральных чисел n во множество
- •Основные характеристики числовых последовательностей:
- •4) Опр. Функцией или отображением множества X во множество y, называется правило f по которому, каждому элементу X множества X поставлен в соответствие единственный элемент y множества y.
- •Способы задания функции:
- •5) Функция называется явно заданной, если она задана формулой , в которой правая часть не содержит зависимой переменной. Пример: .
- •Свойства бесконечно малых функций:
- •Алгоритм устранения неопределенности основных функций:
- •15) Опр. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке и ее значение равно пределу функции в этой точке:
- •Свойства функции непрерывности в точке:
«Введение в математический анализ»
1) Опр. Числовой последовательностью называется отображение множества натуральных чисел n во множество
, элементами которого являются действительные числа.
Если все члены равны одному и тому же числу, то последовательность называется постоянной.
Последовательность считается заданной, если указан способ получения любого ее элемента.
Основные характеристики числовых последовательностей:
Опр. Последовательность называется возрастающей (убывающей), если для любого n выполняться неравенство: .
Возрастающие (убывающие) числовые последовательности называются монотонными.
Опр. Последовательность называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что любой элемент этой последовательности удовлетворяет неравенству: ;
Если для числовой последовательности такого числа нет, то последовательность называется неограниченной.
2) Опр. Последовательность называется бесконечно большой, если для любого положительного числа M существует такое натуральное число n, что для всех выполняется неравенство: .
Опр. Последовательность называется бесконечно малой, если для любого положительного числа существует такое натуральное число , что для всех выполняется неравенство .
Теорема: Если бесконечно большая последовательность и все ее члены отличны от 0, то последовательность бесконечно малая и обратно: если бесконечно малая последовательность и все ее члены отличны от 0, то последовательность бесконечно большая.
3) Опр. Число называется пределом последовательности , если для любого положительного числа существует такое натуральное число , что для всех , выполняется неравенство: .
Предел числовой последовательности обозначается: .
Из определения числовой последовательности следует, что постоянная последовательность имеет предел равный , а бесконечно малая последовательность, предел равный 0.
Теорема (условие существования предела последовательности): если числовая последовательность монотонная и ограниченная, то она имеет предел.
Последовательность, имеющая предел, называется сходящаяся, не имеющая предел, расходящаяся.
Очевидно, что бесконечно большая последовательность не имеет предела в том смысле, как этот предел был определен. Однако считают, что бесконечно большая последовательность имеет предел равный : .
Если при этом, начиная с некоторого номера все члены бесконечно большой последовательности положительны (отрицательны), то пишут: .
Во всех этих случаях говорят, что последовательность имеет бесконечный предел, в связи с этим, первоначально определенный предел последовательности называют конечным пределом.
4) Опр. Функцией или отображением множества X во множество y, называется правило f по которому, каждому элементу X множества X поставлен в соответствие единственный элемент y множества y.
Для обозначения числовой функции обычно используется запись: , где x называется независимой переменной или аргументом, y – зависимый элемент или функция.
Множество X называется областью определения или областью существования функции. Если множество X специально не оговорено, то под областью определения функции допускается область допустимых значений зависимой переменной x.
Соответствующая всем значениям аргумента совокупность значений функции называется областью значений или областью изменения функции.