- •1. Понятие первообразной. Свойства первообразной.
- •2. Понятие неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла.
- •9. Понятие интегральной суммы.
- •10. Понятие определённого интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла
- •11. Необходимый признак интегрируемости функции по Риману. Функция Дирихле.
- •12. Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем.
- •13. Свойства линейности и аддитивности определённого интеграла.
- •14. Свойства определенного интеграла, выраженные неравенствами
- •15. Интегралы с переменным верхним пределом.
- •16. Объем тела вращения с заданным поперечным сечением
- •17. Понятие несобственного интеграла I рода
- •18. Понятие несобственного интеграла II рода
- •19. 20. Признаки сравнения (для несобственного интеграла I и II рода.)
- •21. Свойства определенного интеграла от чет. И нечт. Функции на симметричном промежутке.
- •22. Понятие общего решения дифференциального уравнения первого порядка, частное решение, начальные условия, задача Коши.
- •2 3. Теорема о существовании и единственности решения ду в полных дифференциалах.
- •24. Определитель Вронского.
- •25. Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Вид частных решений, характеристическое уравнение
- •26.Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши д.У. Порядка выше первого.
- •27. Числовой ряд. Основные понятия и определения: определение числового ряда, n-ой
- •28. Интегральный признак Коши.
- •29. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.
- •30. Равномерная сходимость функционального ряда.
- •31. Теорема и признак Вейерштрасса:
- •32. Свойство равномерно сходящихся функциональных рядов.
- •33. Ортогональная система функций:
- •34. Теорема Дирихле. Условия Дирихле.
- •35. Степенные ряды. Область сходимости. Радиус сходимости.
- •36. Ряд Тейлора, область сходимости. Достаточный признак сходимости ряда Тейлора.
- •37. Ряды Маклорена
- •38. Тригонометрический ряд Фурье
19. 20. Признаки сравнения (для несобственного интеграла I и II рода.)
Для несобственного интеграла I рода
Теорема1. Первый признак сравнения:
Путь заданы две непрерывные функции f(x) и g(x), неотрицательные на [a,+∞) и 0<=f(x)<=g(x) x [a,+∞).
Тогда 1) если – сходится, то тоже сходится.
2) если - расходится, то - расходится.
Теорема2. Предельный признак сравнения.
Если существует предел , ( и ), то интегралы и одновременно оба сходятся или оба расходятся.
Для несобственного интеграла II рода
Терема3:
Пусть в левой(правой) окрестности точки b (точки а) определены неотрицательные функции f(x) и g(x), причем 0<=f(x)<=g(x).
Тогда 1) из сходимости н.и. 2 рода - сходится
2) из расходимости н.и. расходится
Теорема4. (Предельный признак сравнения) Пусть f(x) и g(x) неотрицательные, и g(x) 0 на промежутке [a,b), а в точке b функция терпит разрыв. Если существует , , то интегралы и одновременно сходятся или одновременно расходятся.
21. Свойства определенного интеграла от чет. И нечт. Функции на симметричном промежутке.
Если функция f(x) чётная на отрезке [-a;a], то
Если функция f(x) нечётная на отрезке [-a;a], то
22. Понятие общего решения дифференциального уравнения первого порядка, частное решение, начальные условия, задача Коши.
Опр. Общим решением (общим интегралом) уравнения (1) называется такое соотношение (2), что:
1. Любое решение (2) относительно y (для набора постоянных C1, C2, …, Cn из некоторой области n-мерного пространства) - частное решение уравнения (1); 2. Любое частное решение уравнения (1) может быть получено из (2) при некотором наборе постоянных C1, C2, …, Cn. Мы будем в основном рассматривать дифференциальные уравнения в форме, разрешённой относительно старшей производной: (3) и получать общее решение в форме (4) решённой относительно неизвестной функции.
Опр. Частным решением уравнения (1) на интервале (a, b) (конечном или бесконечном) называется любая n раз дифференцируемая функция , удовлетворяющая этому уравнению, т.е. обращающая уравнение на этом интервале в тождество. Так, функция y(x) = ex + x обращает уравнение : y(4) – y + x = 0 в тождество на всей числовой оси (y(4)(x) = ex; ex –(ex +x) + x = 0), т.е. является частным решением этого уравнения. Любое уравнение порядка имеет множество частных решений (частным решением приведённого уравнения является и функция y(x) = sin(x) + x). Процедуру решения дифференциального уравнения часто называют интегрированием уравнения, при этом интегрировать приходится в общем случае ровно n раз, и при каждом интегрировании в решение входит очередная произвольная постоянная.
Задача Коши (задача с начальным условием). Пусть функция f(x, y) определена в области D, точка . Требуется найти решение уравнения ; (8) удовлетворяющее начальному условию y(x0) = y0; (9) (начальное условие (9) часто записывают в форме ). Теорема Коши (существования и решения задачи Коши). Если в области D функция f(x, y) непрерывна и имеет непрерывную частную производную , то для любой точки в окрестности точки x0 существует единственное решение задачи ((8),(9)).