- •1. Понятие первообразной. Свойства первообразной.
- •2. Понятие неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла.
- •9. Понятие интегральной суммы.
- •10. Понятие определённого интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла
- •11. Необходимый признак интегрируемости функции по Риману. Функция Дирихле.
- •12. Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем.
- •13. Свойства линейности и аддитивности определённого интеграла.
- •14. Свойства определенного интеграла, выраженные неравенствами
- •15. Интегралы с переменным верхним пределом.
- •16. Объем тела вращения с заданным поперечным сечением
- •17. Понятие несобственного интеграла I рода
- •18. Понятие несобственного интеграла II рода
- •19. 20. Признаки сравнения (для несобственного интеграла I и II рода.)
- •21. Свойства определенного интеграла от чет. И нечт. Функции на симметричном промежутке.
- •22. Понятие общего решения дифференциального уравнения первого порядка, частное решение, начальные условия, задача Коши.
- •2 3. Теорема о существовании и единственности решения ду в полных дифференциалах.
- •24. Определитель Вронского.
- •25. Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Вид частных решений, характеристическое уравнение
- •26.Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши д.У. Порядка выше первого.
- •27. Числовой ряд. Основные понятия и определения: определение числового ряда, n-ой
- •28. Интегральный признак Коши.
- •29. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.
- •30. Равномерная сходимость функционального ряда.
- •31. Теорема и признак Вейерштрасса:
- •32. Свойство равномерно сходящихся функциональных рядов.
- •33. Ортогональная система функций:
- •34. Теорема Дирихле. Условия Дирихле.
- •35. Степенные ряды. Область сходимости. Радиус сходимости.
- •36. Ряд Тейлора, область сходимости. Достаточный признак сходимости ряда Тейлора.
- •37. Ряды Маклорена
- •38. Тригонометрический ряд Фурье
9. Понятие интегральной суммы.
Пусть на отрезке [a,b] определена вещественнозначная функция f.
Рассмотрим разбиение отрезка — конечное множество попарно различных точек отрезка . Это разбиение делит отрезок[a,b] на n отрезков . Длина наибольшего из отрезков d = max(Δxi), называется диаметром разбиения, где Δxi = xi − xi − 1.
Отметим на каждом отрезке разбиения по точке . Интегральной суммой называется выражение .
10. Понятие определённого интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла
Определенным интегралом от функции у= на называется конечный предел соответствующей интегральной суммы при неограниченном увеличении числа разбиений промежутка на части (noo) и стремлении длин всех частичных промежутков к нулю (хi 0)
если предел конечен и не зависит от разбиений и выбора точки
, где - подынтегральная функция.
-подынтегральное выражение.
а- нижний предел интегрирования.
в- верхний предел интегрирования.
d- длина наибольшего из отрезков разбиения.
Геометрический смысл интеграла - это площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями , y=0, x=a, x=b, на [a, b].
11. Необходимый признак интегрируемости функции по Риману. Функция Дирихле.
Признак Римана (теоретически). Для существующего определённого интеграла необходимо и достаточно, чтобы
Функция Дирихле — функция , принимающая значение 1, если аргумент есть рациональное число, и значение 0, если аргумент есть иррациональное число,
.
Функция Дирихле — пример функции не интегрируемой в смысле Римана.
12. Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем.
Основные свойства определенного интеграла.
,
, где c-const,
Определенный интеграл от ф-ий:
Адитивность определенного интеграла
Если , то
Монотонность определенного интеграла. если , то
Ограниченность.
Оценка определенного интеграла. Пусть f(х) интегрируема на [a,b], a<b, ,
Теорема о среднем: Если f(х) непрерывна на [a,b], то существует точка , такая что , где -среднее значение.
13. Свойства линейности и аддитивности определённого интеграла.
Основные свойства определенного интеграла.
,
, где c-const,
Определенный интеграл от ф-ий:
Адитивность определенного интеграла
Монотонность определенного интеграла . если , то
Ограниченность.
Оценка определенного интеграла. Пусть f(х) интегрируема на [a,b], a<b, ,
Если , то
14. Свойства определенного интеграла, выраженные неравенствами
1.Пусть на отрезке и интегрируемая функция тогда, ; (аналогично, если на отрезке , то ).
2.Если функция интегрируема на , и , то .
3.Если функция интегрируема на , то тоже интегрируема на и имеет место следующее неравенство: .
БРЕЙСЯ! НЕТУ ГРАФИЧЕСКОЙ ИЛЛЮСТРАЦИИ! РИСУЙ САМ!