15. Интегралы с переменным верхним пределом.

Пусть функция f (x) интегрируема на отрезке [a, b], тогда она интегрируема на любом отрезке [a, x], где a £ x £ b и имеет смысл интеграл

,

Интегралы с переменным верхним пределом

который представляет собой функцию от х и называется интегралом с переменным верхним пределом.

Теорема 1. Определенный интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной функции f (x) на отрезке [a, b] является первообразной для подынтегральной функции, т.е. для любого x Î [a, b]

16. Объем тела вращения с заданным поперечным сечением

П усть вокруг оси Ox вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией отрезком и прямыми x=a и x=b. Полученная от вращения фигура называется телом вращения. Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси Ox, проведенной через произвольную точку x оси Ox ( ), есть круг с радиусом . Следовательно, .

Применяя формулу объема тела по площади параллельных сечений ( ), получаем

(1)

Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции и прямыми x=0, y=c, y=d (c<d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Oy, по аналогии с формулой (1), равен

17. Понятие несобственного интеграла I рода

Пусть функция непрерывна на промежутке . Если существует конечный предел то его называют несобственным интегралом первого рода и обозначают .

Таким образом, по определению

В этом случае говорят, что несобственный интеграл сходится. Если же указанный предел не существует или он бесконечен, то говорят, что интеграл расходится.

Аналогично определяется несобственный интеграл на промежутке :

Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами определяется формулой

где c – произвольное число. В этом случае интеграл слева сходится лишь тогда, когда сходятся оба интеграла справа. Если непрерывная функция на промежутке и интеграл сходится, то он выражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции

18. Понятие несобственного интеграла II рода

Пусть функция непрерывна на промежутке и имеет бесконечный разрыв при x=b. Если существует конечный предел то его называют несобственным интегралом второго рода и обозначают . Таким образом, по определению, Если предел в правой части существует, то несобственный интеграл сходится. Если же указанный предел не существует или он бесконечен, то говорят, что интеграл расходится. Аналогично, если функция терпит бесконечный разрыв в точке x=a, то полагают

Если функция терпит разрыв во внутренней точке c отрезка , то несобственный интеграл второго рода определяется формулой В этом случае интеграл слева называют сходящимся, если оба несобственных интеграла, стоящих справа, сходятся. В случае, когда , несобственный интеграл второго рода (разрыв в точке x=b) можно истолковать геометрически как площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции.