1. Процессы наращения и дисконтирования. Начисление простого и сложного процента. Дисконтирование и наращение по учетной и процентной ставке. Эквивалентность процентных ставок. Эффективная процентная ставка.

При заключении финансового или кредитного соглашения стороны договариваются о размере процентной ставки - отношения суммы процентных денег, выплачиваемых за фиксированный отрезок времени к величине ссуды. Процентная ставка учитывает временной интервал, который называется периодом начисления. Существуют различные типы процентных ставок. Ставки процентов могут применяться к одной и той же начальной сумме на протяжении всего срока ссуды или к сумме с начисленными в предыдущем периоде процентами. В первом случае они называются простыми, а во втором - сложными процентными ставками. Процентные ставки, указываемые в контрактах, могут быть постоянными или переменными («плавающими»). Процесс увеличения денег в связи с присоединением процентов к сумме долга называют наращением. Процесс наращения – это увеличение первоначальной суммы денег. Пусть - исходная сумма, - наращенная сумма за время t или будущая сумма. Величина называется процентной ставкой за период наращения Т. .

Задача обратная наращению процентов, когда по заданной сумме, соответствующей концу финансовой операции, требуется найти исходную сумму, называется дисконтированием. . Величина d – называется ставкой дисконтирования за время t. . В финансовой практике d называется учетной ставкой. Учетная ставка используется тогда, когда плата за кредит (процентный доход) начисляется авансом при выдаче кредита. Заемщику выдается сумма, уменьшенная на величину процентного дохода, а возвращается полная сумма долга. .

Простой процент начисляется за все время действия контракта на определенную первоначальную сумму. , где n – число лет. Если начисление процента происходит ежедневно, то , где де - число дней в финансовом году (360), Т – число дней наращения. Процентный доход равен или . Начисление сложного процента осуществляется на наращенную сумму. Наращенная сумма при начислении сложного процента за произвольное число дней равна . Если начисление сложных процентов происходит m раз в году течении n лет, то . – называется множителем наращения, а – коэффициентом наращения.

В зависимости от типа процентной ставки используют два типа дисконтирования. Дисконтирование по процентной ставке называется математическим дисконтированием, а дисконтирование по учетной ставке называется банковским дисконтированием. Математическое дисконтирование: для простых процентов , для сложных процентов . Банковское дисконтирование: при простой ставке дисконтирования (учет векселя) , при сложной - или . Декурсивный (последующий) метод – начисление процентов происходит в конце расчетного периода. При этом наращенная сумма рассчитывается по процентной ставке r . Антисипативный (предварительный) метод – начисление процентов происходит в начале расчетного периода на сумму, которую следует вернуть, наращенная сумма рассчитывается по учетной ставке d.

Процентные ставки, обеспечивающие равноценность финансовых результатов, называются эквивалентными. Эквивалентные процентные ставки означают, что безразлично, по какой процентной ставке получается данная конечная сумма. Эквивалентность простой и учетной - ; простой и сложной номинальной - ; простой учетной и номинальной сложной - .

Эффективная процентная ставка численно равна годичной ставке сложных процентов, дающей то же соотношение между полученной суммой за время T и затраченной суммой , которая получается при любой схеме выплат. Эффективная процентная ставка позволяет сравнить доходности различных финансовых операций или, другими словами, сравнить различные способы получения процентного дохода. , где Т измеряется в годах, .

2. Реальная и номинальная процентная ставка. Эффективная процентная ставка. Средние процентные ставки. Доходность финансовой операции, влияние налога на доходность.

Реальная процентная ставка — это процентная ставка, очищенная от инфляции. ,где r – номинальная процентная ставка, – реальная процентная ставка, – темп инфляции. Это формула Фишера. . Если темп инфляции превышает номинальную ставку , то реальная процентная ставка становится отрицательной. Это означает, что наращенная сумма не компенсирует потерю покупательной способности денег из-за инфляции. Для краткосрочных процентных ставок такая линейная зависимость не подтверждается.

Эффективная процентная ставка численно равна годичной ставке сложных процентов, дающей то же соотношение между полученной суммой за время T и затраченной суммой , которая получается при любой схеме выплат. Эффективная процентная ставка позволяет сравнить доходности различных финансовых операций или, другими словами, сравнить различные способы получения процентного дохода. , где Т измеряется в годах, .

Если простые процентные ставки меняются в течение времени, то применяется средневзвешенная процентная ставка простых и сложных процентов. Пусть имеется последовательность простых процентов за последовательные периоды . , , где . Средневзвешенная ставка сложных процентов рассчитывается как взвешенная геометрическая средняя. , .

Доходностью финансовой операции за время называют величину ,где  начальная сумма,  конечная сумма. Для сравнения результатов финансовых операций процентные ставки необходимо пересчитать в эквивалентные процентные ставки. Налоги, как и инфляция, оказывают существенное влияние на доходность финансовой операции. Если ставка налога на годовой процентный доход равна g, фактически наращенная сумма уменьшается на величину налога, равную , где - сумма годового дохода.

3. Стоимость денежных потоков. Приведенная и будущая стоимость. Основные параметры и типы рент. Авансовая и обыкновенная рента.

Наращенная сумма, полученная в результате потока платежей, называется будущей стоимостью FV (future value). Начальная стоимость потока платежей называется приведенной стоимостью PV (present value). Существуют потоки платежей, которые поступают через равные промежутки времени, члены потока либо положительны (доход), либо отрицательны (выплаты). , - величина платежа в момент времени , - процентная ставка, соответствующая - тому периоду, N – число периодов. Если величина платежа и процентная ставка постоянны во времени и длительности периодов равны, то FV = . , если всё постоянно, то .

Если имеется денежный поток с равными поступлениями через равные промежутки времени и постоянной процентной ставкой, то такой поток называют аннуитетом или простой финансовой рентой. Для всех типов рент сохраняется принцип регулярности платежей. Финансовая рента, характеризуется следующим набором параметров: член ренты – величина отдельного платежа; период ренты – временной интервал между двумя последовательными платежами; срок ренты – время от начала реализации ренты до момента начисления последнего платежа; процентная ставка. В зависимости от конкретных условий существует много типов рент. Финансовые ренты различаются не только по моментам платежа (обыкновенные и авансовые), длительности (срочная и бессрочная), но также по частоте платежей и начислений процентов и по моменту начала ренты (отложенная рента). Существуют ренты, расчет которых ведется по простым процентам, а также смешанные и переменные ренты.

Обыкновенная рента. Приведенная стоимость ренты рассчитывается за период до первой выплаты. Будущая стоимость рассчитывается в момент последней выплаты. = ,

на первый взнос наращение производится в течении (N - 1) периодов, а на последний взнос проценты не начисляются. .

Авансовая рента. Приведенная стоимость ренты рассчитывается на момент первой выплаты. Будущая стоимость рассчитывается через период после последней выплаты. = ; . . Для годовой ренты с начислением раз в году, процентная ставка за период равна r/m, а число членов ренты равно , то ; .