3.3. Выравнивание рядов динамики по аналитическим формулам.

Более совершенным способом обработки динамических рядов с целью установления тенденции развития является выравнивание по аналитическим формулам.

При этом способе на основе фактических данных ряда подбирается наиболее подходящая для отражения тенденции развития явления математическая формула (апоксимирующая функция), которая принимается за модель развития и по которой рассчитывают выровненные значения. Другими словами, уровни ряда рассматриваются как функция времени [y = f(х)], и задача выравнивания сводится к определению вида функции в каждом конкретном случае, поиску её параметров по эмпирическим данным и расчёту теоретических по найденной формуле. Простейшими формулами, выражающими тенденцию развития (тренд), являются:

1) аналитическая прямая вида

2) показательная функция

3) парабола второго порядка

4) гипербола .

Во всех случаях есть теоретический уровень, выровненный по временному параметру t, t² - условное обозначение времени, a₀, a₁, a₂ - параметры аналитических функций.

Определение параметров аналитических функций происходит при составлении соответствующих систем уравнений. Для примера рассмотрим несколько зависимостей.

Выравнивание по прямой линиии. Выравнивание по прямой даёт эффект, как правило, в тех случаях, когда абсолютные приросты более или менее постоянны, т.е. когда уровни изменяются в арифметической прогрессии (или близко к ней).

Параметры a₀ и а₁ для искомой прямой находятся по способу наименьших квадратов, путём решения системы нормальных уравнений:

где:

y - уровни эмпирического ряда,

n - количество уровней ряда,

t - порядковый номер периода, или момента времени.

П ри соответствующих математических преобразованиях получаем следующий результат:

4. Приёмы изучения сезонных колебаний.

Внутригодовые уровни многих показателей существенно зависят от сезонности. Так, например, расход электроэнергии в летние месяцы значительно меньше чем в зимние. Потребление мясных продуктов больше в зимние месяцы, производство многих видов продуктов (сахар, растительное масло и пр.), связанных с переработкой сельскохозяйственной продукции, увеличивается в месяцы, непосредственно следующие за окончанием уборки урожая; цены на рынке на овощи в отдельные месяцы неодинаковые, существует и определённая сезонность в потреблении отдельных видов бытовых услуг. В таких случаях при укрупнении интервалов закономерность изменения уровней не только не проявляется, но и затушёвывается. Только наблюдение за месячными (или квартальными) уровнями может обнаружить соответствующее изменение в динамическом ряду, вызванное влиянием сезонности.

При графическом изображении таких радов сезонные колебания наглядно проявляются в повышении или снижении уровней в определенные месяцы года.

Наблюдение за сезонными колебаниями представляет интерес с точки зрения стремления к их устранению (например, стремление равномерного использования тракторов в сельском хозяйстве в течение года или строительных рабочих в строительстве, а также равномерно загрузить производственные мощности предприятий по пошиву и ремонту обуви и т.д.). Кроме того, знание особенностей сезонных колебаний для тех или иных показателей может быть использовано при решении многих практических задач (планирование выпуска продукции по месяцам там, где она испытывает влияние сезонности: потребности в рабочей силе, оборудовании, сырье и материалах, топливе и электроэнергии и т.д.). Поэтому получение и измерение «сезонной волны» являются одной из важных задач при анализе рядов динамики.

В статистике существует ряд методов для выявления и измерения сезонной волны.

Первый способ. А самый простой способ заключается в следующем: для каждого года рассчитывается средний уровень, а затем с ним сопоставляется (в процентах) уровень каждого месяца. Это процентное отношение обычно именуют индексом сезонности:

где:

I - индекс сезонности,

Yi - значение i-го уровня сезонности,

Y - значение среднего уровня сезонности.

Б. Однако месячные данные одного года в силу элемента случайности слишком ненадёжны для выявления закономерности сезонных колебаний. Поэтому надёжнее пользоваться месячными данными за ряд лет (в основном за 3 года). Тогда для каждого месяца рассчитывается средняя величина уровня за три года, затем из них рассчитывается среднемесячный уровень для всего ряда и в заключение определяется процентное отношение средних для каждого месяца к общему среднемесячному уровню ряда.

Второй способ. При наличии данных за 3 года или другой отрезок времени применяется и такой метод: рассчитываются индексы сезонности для каждого года, как указывалось в первом способе. Затем из индексов сезонности каждого месяца находится средняя арифметическая.

Если же наблюдается тенденция к увеличению или уменьшению из года в год месячных уровней, то второму способу следует отдать предпочтение по сравнению с предыдущим.

Третий способ. При наличии тенденции к увеличению или уменьшению уровней из года в год применимы и другие способы измерения сезонных колебаний, в частности расчёт индексов сезонности на основе цепных помесячных отношений. Суть данного метода в следующем. Для нескольких лет определяется процентное отношение уровня каждого месяца к предыдущему. Дале, из этих относительных величин, рассчитанных для нескольких лет, вычисляется средняя для каждого месяца. Затем средняя из январских цепных отношений принимается за 100%. Средняя величина из цепных отношений для февраля остаётся без изменений, так как данное отношение рассчитано по отношению к январю. Средние величины цепных отношений всех остальных месяцев, начиная с марта, пересчитанные по отношению к январю, определяются по методу цепных произведений с последующей корректировкой. (Пример на практических занятиях).

Четвёртый способ. Данный способ измерения сезонных колебаний основан на отношении фактических месячных данных к скользящей средней, рассчитанной на 12 месяцев. При этом методе помесячные уровни исследуемого показателя за ряд лет сглаживаются 12 месячной скользящей средней. Затем фактические уровни каждого месяца процентируются к скользящей средней. На основе таких отношений (индексов сезонности) за ряд лет находится средняя арифметическая для каждого месяца, эти средние являются индексами сезонных колебаний.

Аналогичные индексы сезонных колебаний могут быть построены на основе отношений фактических помесячных данных к уровням, выравненеым по аналитическим формулам.