3.Основные понятия в алгебре логики.

Алгебраическая интерпретация понятий традиционной логики получила свое ясное оформление в трудах английского математика Джорджа Буля.

Логическая переменная в алгебре логики может принимать одно из двух возможных значений: TRUE(лог 1) - истина, FALSE(лог 0) - ложь. Физически это может означать присутствие или отсутствие некоторого сигнала (замкнуто, разомкнуто), уровень потенциала на электронном элементе (высокий, низкий), протекание или отсутствие тока в некоторой цепи. Дж. Буль ввел символы д\обознач вещей (x, y, z, ...), кач-в вещей (X, Y, Z, ...), класса вещей (цифра 1), отсут вещей (цифра 0), лог сложения (+), лог вычитания (–), лог умножения (*), лог рав-ва (=). Любое суждение он пытался выразить в виде уравнений с символами.

В общем случае под логическими переменными ^* понимаются знаки в формулах, которые могут принимать различные значения из соответствующей области. Лог переменные можно заменять конкретными по содержанию высказываниями.

4.Функции в алгебре логики

Рассмотрение понятия функции в алгебре логики (АЛ) можно начать с функций одной переменной. можно построить четыре.

Переменная	Функции
x	g1	g2	g3	g4
0	0	0	1	1
1	0	1	0	1

Очевиден и содержательный смысл этих функций: g₁ - константа нуля, g₂ - повторение x, g₃ - инверсия x, g₄ - константа единицы.

Для2 переменных м\б введено уже 16 функций.

Продолжая этот ряд получим таблицу, показывающую, что кол-во лог функций вычисляется как два в степени количества возможных входных наборов.Если последовательность логических переменных обозначить как X=(x₁, x₂, ..., x_n) и назвать двоичным набором, то под функцией алгебры логики следует понимать однозначное отображение мн-ва всевозможных наборов на множествоY=<0,1>.

Если две функции алгебры логики f₁(x₁, x₂, ..., x_n) и f₂(x₁, x₂, ..., x_n) принимают на всех возможных наборах одинаковые значения, то они называются равными (эквивалентными).

Функции 2 переменных играют важную роль в алгебре логики и могут быть названы элементарными.элементарные функции: инверсия (отриц), конъюнкция, дизъюнкция, импликация, штрих Шеффера и стр Пирса.

Функция АЛ, полученная из функций f₁, f₂, ..., f_k с помощью этих правил, называется суперпозицией функций f₁, f₂, ..., f_k. В табл приведено представление различ функций ч\з суперпозицию конъюнкции, дизъюнкции и отрицания.

5. Аксиомы алгебры логики

Под логической аксиомой понимается формула логико-математического языка, принимаемая в качестве аксиомы при построении формальной теории, истинная в любой структуре для данного языка в силу смысла логических символов. Логические аксиомы выбираются таким образом, чтобы множество логических следствий из аксиом в точности совпадало с множеством теорем. Алгебра логики строится на основе следующих аксиом:1Переменная может принимать лишь одно из двух возможных значений:

x = 0, если x <> 1;

x = 1, если x <> 0.

2Вводится преобразование, называемое инверсией, такое, что 0 = 1; 1 = 0.3.Вводится преобразование (x v y), называемое дизъюнкцией, для которого справедливы соотношения: 0 v 0 = 0; 1 v 1 = 1; 1 v 0 = 0 v 1 = 1.4.Вводится преобразование (x & y), называемое конъюнкцией, которое определяется соотношениями: 0 & 0 = 0; 1 & 1 = 1; 1 & 0 = 0 & 1 = 0.5.Во избежание многократных скобочных записей вводится приоритетность выполнения операций: инверсия(-); конъюнкция (&); дизъюнкция (v); равенство(=).