Взаимная индукция

Явление возникновения индукционного тока в одном замкнутом проводящем контуре при изменении тока в другом называется взаимоиндукцией.

Рассмотрим два неподвижных контура с сопротивлениями R₁ и R₂, расположенные достаточно близко друг от друга. Если в первом контуре течет ток I₁, то магнитное поле этого тока создает магнитный поток Ф₂₁ через поверхность второго контура, пропорциональный, как следует из закона Био-Савара-Лапласа, току I₁ т.е. Ф₂₁= L₂₁I₁.

Если магнитный поток зависит от времени, то во втором контуре возникает эдс индукции ε_2i

ε_2i=

и течет индукционный ток

.

Если во втором контуре течет ток I₂, то магнитное поле этого тока создает магнитный поток Ф₁₂ через поверхность первого контура, пропорциональный токy I₂ , т.е. Ф₁₂ = L₁₂I₂.

Если магнитный поток зависит от времени, то в первом контуре возникает эдс индукции ε₁₂

ε₁₂ =

и течет индукционный ток

.

Если L₂₁ и L₁₂ не зависят от времени, то

ε₂₁ = , ,

ε₁₂ = , .

Введенные коэффициенты пропорциональности L₂₁ и L₁₂ называются взаимными индуктивностями контуров. Взаимная индуктивность численно равна магнитному потоку сквозь один из контуров, создаваемому единичным током в другом контуре. Взаимные индуктивности зависят только от взаимной конфигурации контуров и магнитной проницаемости среды. Размерность коэффициентов - генри (Гн).

В отличие от индуктивности коэффициенты взаимоиндукции могут быть как положительными, так и отрицательными. Несложно показать, что справедлива теорема взаимности: в отсутствии ферромагнитной среды взаимные индуктивности контуров

L₁₂ = L₂₁.

Смысл этой теоремы состоит в том, что при пропускании одного и того же по величине тока через любой из двух контуров магнитный поток через другой контур всегда будет одним и тем же, т.е Ф₂₁= L₂₁I = L₁₂I = Ф ₁₂. (на явлении взаимной индукции основано действие трансформаторов).

Энергия магнитного поля

Рассмотрим процесс замыкания цепи в контуре с источником тока с эдс , резистором с сопротивлением и катушкой индуктивности с индуктивностью на основании закона сохранения энергии

В начальный момент замыкания цепи I = 0 и магнитного поля в контуре нет ( = 0). В любой последующий момент времени в контуре есть ток (I 0) и магнитное поле ( 0), созданное током. При этом источник тока совершает некоторую дополнительную работу, которая и идет на создание магнитного поля. Величина этой работы равна изменению магнитной энергии. Таким образом, энергия магнитного поля контура с индуктивностью , по которому течет ток I , равна

W

Выразим энергию магнитного поля через вектор магнитной индукции . Для этого рассмотрим однородное поле длинного соленоида:

,

где - напряженность магнитного поля.

Так как магнитное поле длинного соленоида однородно, то плотность магнитной энергии

ω .

Обобщим выражение для плотности магнитной энергии на случай неоднородного поля для энергии магнитного поля W, заключенного в объеме V

W = dV= dV= dV

5 Уравнения максвелла

Между электрическими зарядами и токами, с одной стороны, и создаваемыми ими электрическими и магнитными полями, с другой, существует связь. Связь существует и между самими электрическими и магнитными полями.

При всяком изменении магнитного поля возникает электрическое поле и, наоборот, при всяком изменении электрического поля возникает магнитное поле. Уравнения Максвелла в математической форме отражают все эти связи и все эти процессы. Все определения, изложенные в последующих параграфах, даны для вакуума.

Первое уравнение Максвелла в интегральной форме является обобщением закона электромагнитной индукции Фарадея, суть которого в следующем. При изменении магнитного потока, пронизывающего неподвижный проводящий контур, в последнем возникает вихревое электрическое поле, которое и создает в контуре эдс индукции.

Максвелл установил, что проводящий контур в этом процессе не играет принципиальной роли, а является лишь датчиком, обнаруживающим вихревое электрическое поле, существующее независимо от того, имеются или нет проводники в той области пространства, где наблюдается изменяющееся магнитное поле. Первое уравнение Максвелла в интегральной форме значительно шире закона электромагнитной индукции Фарадея, так как под контуром L следует понимать любой мысленно очерченный в пространстве контур.

Переменное магнитное поле создает вихревое электрическое поле.

Запишем данное утверждение в виде математических формул.

Первое интегральное уравнение Максвелла:

.

Циркуляция вектора напряженности вихревого электрического поля по произвольному замкнутому контуру L равна по абсолютной величине и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока, сцепленного с контуром L .

Интегральный закон описывает процессы, протекающие в конечном объеме за конечный промежуток времени.

Чтобы описать процессы, протекающие в бесконечно малом объеме за бесконечно малый промежуток времени, используют законы, записанные в дифференциальной форме.

Первое уравнение Максвелла в дифференциальной форме имеет вид

,

где символ - оператор, называемый ротором и описывающий вихревые процессы, имеет вид

.

Применительно к функции символ принимает вид

.

Следовательно, существуют две разновидности электрического поля - потенциальное электростатическое и не потенциальное вихревое.

-Электростатическое поле порождается электрическими зарядами - свободными и поляризационными.

-Вихревое электрическое поле порождается изменяющимся магнитным полем.

Второе уравнение Максвелла является обобщением закона полного тока. Максвелл предположил, что переменное электрическое поле так же, как и электрический ток, является источником магнитного поля.

Переменное электрическое поле порождает вихревое магнитное поле.

Рассмотрим конденсатор, к которому приложено переменное напряжение. Это напряжение создает между обкладками конденсатора переменное электрическое поле. Переменное электрическое поле создает в окружающем пространстве магнитное поле так, как если бы между обкладками протекал вполне определенный ток проводимости.

Линии вихревого магнитного поля, порождаемого изменяющимся электрическим полем, замыкаются вокруг линий вектора . Направление линий связано с направлением правилом правого буравчика: если поступательное движение острия буравчика совпадает с направлением , то направление вращения рукоятки указывает на направление линий вектора магнитной индукции

1. Если вектор , не изменяясь по направлению, растет по модулю, то направление совпадает с направлением . Тогда линии вектора лежат в плоскости, перпендикулярной линиям , и замыкаются вокруг этих линий по ходу часовой стрелки.

2 . Если вектор , не изменяясь по направлению, уменьшается по модулю, то направление противоположно направлению линий . Тогда линии вектора лежат в плоскости, перпендикулярной линиям , и замыкаются вокруг этих линий против хода часовой стрелки.

Переменное электрическое поле Максвелл назвал током смещения . Ток смещения – одно из важных понятий теории электромагнетизма.

Переменное магнитное поле создается:

1. Движущимися электрическими зарядами, т.е. токами проводимости.

2. Изменяющимся электрическим полем, т.е. током смещения.

Второе интегральное уравнение Максвелла выражает теорему о циркуляции вектора магнитной индукции по произвольному замкнутому контуру L .

,

где - магнитная и электрическая постоянные; - скорость изменения потока вектора напряженности через произвольную поверхность S, опирающуюся на контур L.

Введение токов смещения приводит к тому, что разомкнутые электрические цепи становятся замкнутыми. Токи смещения «проходят» в тех участках, где нет проводников, например, между обкладками заряжающегося или разряжающегося конденсатора.

Токи смещения в отличие от токов проводимости не сопровождаются выделением теплоты (не подчиняются закону Джоуля – Ленца).

Второе уравнение Максвелла в дифференциальной форме имеет вид

,

где с – скорость света, - плотность тока проводимости.

Вихревое магнитное поле порождается изменяющимся электрическим полем и токами проводимости.

Третье и четвертое уравнения Максвелла в интегральной форме представляют теорему Гаусса для электрических и магнитных зарядов.

Для электрических зарядов теорема Остроградского Гаусса имеет вид.

Поток вектора напряженности через произвольную замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме электрических зарядов, охватываемых поверхностью S, деленному на .

Максвелл предположил, что теорема Остроградского – Гаусса справедлива для любого магнитного поля. Отсюда четвертое уравнение Максвелла в интегральной форме имеет вид

.

Поток вектора магнитной индукции через произвольную замкнутую поверхность S равен нулю, так как в природе не существуют магнитных зарядов. Равенство нулю правой части 4 уравнения Максвелла означает, что магнитные силовые линии обязательно непрерывны, т.е. либо замкнуты, либо идут из бесконечности в бесконечность.

Третье и четвертое уравнения Максвелла в дифференциальной форме имеют вид:

,

,

г де - объемная плотность зарядов. Символ - оператор, называемый дивергенцией, описывающий расходящиеся или сходящиеся физические процессы и имеющий вид

.

Применительно к функции символ имеет вид

.