7. Оптимизация нормы накопления

С экономической точки зрения, нормы накопления является важнейшим показателем экономического развития, экономического роста. В конечном итоге рациональный выбор нормы накопления и определяет стратегию экономического развития. В однопродуктовой макромодели норма накопления однозначно задает все остальные показатели.

Вопрос: При каких пропорциях накопления и потребления обеспечивается наилучшее развитие экономики? Чтобы ответить на этот вопрос, нужно сформулировать критерий развития экономики. Это позволит сравнивать различные варианты развития и выбирать наилучший из них. В качестве критерия оптимальности рассмотрим максимизацию потребления на душу населения , при ограничениях

(7)

Решаем эту задачу методом множителей Лагранжа

Приравниваем к нулю частные производные

(8)

(9)

Из (8) получаем и подставляем в (9)

(10).

Получаем систему:

Данная система имеет единственное решение, т.к. , то левая часть (10) является монотонно убывающей функцией. Следовательно , решение системы единственно . Подставляя его в (7) , получим и искомое значение величины (11)

Для расчета оптимальной нормы накопления теперь нужно задать конкретную производственную функцию. После этого значение оптимальной нормы накопления однозначно определяются соотношшениями (10) и (11)

Проведем в качестве примера расчеты для производственной функции Кобба-Дугласа , тогда . Подставляя в (10) , получаем

, откуда (12). Подставляя (12) в (11):

Оптимальная норма накопления на траэктори сбалансированного роста для функции Кобба-Дугласа равна коэффициенту эластичности по капиталу.

8. Моделювання сфери споживання. Функція корисності. Рассмотрим поведение отдельного участника экономики, как потребителя товаров. Эта проблема рассматривается с точки зрения рационального распределения личного бюджета (дохода) потребителя, которая в конечном счете сводится к решению вопроса о том, какое количество каждого наличного товара он должен приобрести при заданных ценах и известном доходе.

Пусть на рынке производится и продается n видов товаров. Вид товара будем обозначать индексом i, так что i=1,…,n. Обозначим через количество i-го товара. Вектор будем называть набором товаров. Множество будем называть пространством товаров. На количество товаров не накладываются ограничения сверху. Предполагается, что на рынке существует достаточное количество товаров.

Человек приобретает (покупает) товары с целью максимального удовлетворения своих потребностей. Поэтому потребитель стремится выбрать в пространстве "лучший" с его индивидуальной точки зрения товар. При сравнении двух наборов x и y одни предпочтут x, другие - y.

Для того чтобы формализовать выбор потребителя с учетом его цели, в пространстве определим (индивидуальное) отношение предпочтения, обозначаемое символом . При помощи этого отношения любой набор можно сравнить с другим набором . Запись означает, что либо x предпочтительнее чем y, либо наборы x и y для потребителя безразличны (то есть х по крайней мере так же хорош, как и у).

функция полезности. Определение. Пусть в определено отношение предпочтения . Любая функция такая, что тогда и только тогда, когда , называется функцией полезности, соответствующей этому отношению предпочтения.

Если интересы потребителя ограничиваются множеством , то функция полезности определяется на этом множестве, .

В терминах функции полезности отношение безразличия задается равенством .