Случайные процессы. Процесс Пуассона и его свойства: стационарность, отсутствие последействия и ординарность.
Случа́йный проце́сс (случайная функция) в теории вероятностей — семейство случайных величин, индексированных некоторым параметром, чаще всего играющим роль времени или координаты.
Пуассо́на пото́к (проце́сс), (устар. Пуассоновский процесс[1]) — поток однородных событий, для которого число событий в интервале А не зависит от чисел событий в любых интервалах, не пересекающихся с А, и имеет Пуассона распределение с параметром Λ(А). В теории случайных процессов описывает количество наступивших случайных событий, происходящих с постоянной интенсивностью.
Вероятностные свойства потока Пуассона полностью характеризуются функцией Λ(А), равной приращению в интервале А некоторой убывающей функции. Чаще всего поток Пуассона имеет мгновенное значение параметра λ(t) — функцию, в точках непрерывности которой вероятность события потока в интервале[t,t+dt] равна λ(t)dt. Если А — отрезок [a,b], то
Поток Пуассона, для которого λ(t) равна постоянной λ, называется простейшим потоком с параметром λ.[2]
Потоки Пуассона определяются для многомерного и вообще любого абстрактного пространства, в котором можно ввести меру Λ(А). Стационарный поток Пуассона в многомерном пространстве характеризуется пространственной плотностью λ. При этом Λ(А) равна объему области А, умноженному на λ.
Потоком событий называют последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени. Простейшим (пуассоновским) называют поток событий, который
обладает следующими тремя свойствами: стационарностью, «отсутствием последействия» и ординарностью. Свойство стационарности состоит в том, что вероятность появления k событий в любом промежутке времени зависит только от числа А; и от длительности / промежутка времени и не зависит от начала его отсчета. Другими словами, вероятность появления k событий за промежуток времени длительностью t есть функция, зависящая только от А; и t.
Свойство “отсутствия последействия” состоит в том, что вероятность появления k событий в любом промежутке времени не зависит от того, появлялись или не появлялись события в моменты времени, предшествующие началу рассматриваемого промежутка. Другими словами, предыстория потока не влияет на вероятности появления событий в ближайшем будущем. Свойство ординарности состоит в том, что появление двух или более событий за малый промежуток времени практически невозможно. Другими словами, вероятность появления более одного со
бытия за малый промежуток времени пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью появления только одного события. Интенсивностью потока λ называют среднее число событий,
которые появляются в единицу времени. Если постоянная интенсивность потока λ известна, то вероятность появления k событий простейшего потока за время t определяется формулой Пуассона
48. Цепь Маркова. Переходная вероятность. Однородная цепь Маркова.Матрица перехода. Равенство Маркова.
Це́пь Ма́ркова — последовательность случайных событий с конечным или счётным числом исходов, характеризующаяся тем свойством, что, говоря нестрого, при фиксированном настоящем будущее независимо от прошлого. Названа в честьА. А. Маркова (старшего).