3. Формула Релея-Джинса

В классической физике задача о плотности равновесного излучения абс. Черного тела решалось следующим образом. Рассмотрим некоторую полость в которой существует равновесное излучение. В данной полости существуют эл.маг.колебания всевозможных частот. Поскольку имеется равновесное состояние, то никакого движения энергии в рассмотренной полости нет. Значит, полиизлучение может быть представлено в виде суперпозиции стоячих волн. Предположим, что полость имеет вид куба со стороной L и выберем систему координат так, чтобы оси этой системы были направлены вдоль трех ребер куба. Волновые числа стоячей волны обозначим через k_x,k_y,k_z, тогда условие существования стоячих волн запишется в след.виде: k_x*L=n_x*π; k_y*L=n_y*π; k_z*L=n_z*π (*), где n_x,n_y,n_z-целые положит.числа.Обозначим через dN число волн, волновые числа которых заключены в след.интервалах: (k_x, k_x+dk_x), (k_y, k_y+dk_y), (k_z, k_z+dk_z).

Тогда кол-во этих волн будет равно числу целых чисел, заключенных в интервале: (n_x ,n_x +dn_x), (n_y ,n_y +dn_y); (n_z ,n_z +dn_z ). Т.е dN= dn_z *dn_y *dn_x (1)

Найдем дифференциалы от левых и правых частей соотношения (*) : Ldk_x=πdn_x; Ldk_y=πdn_y; Ldk_z=πdn_z (2). Из соотн.(2) найдем dn_x ,dn_y ,dn_z

dn_x=(L/π) dk_x; dn_y==(L/π) dk_y; dn_z =(L/π) dk_z (3). Подставим (3) в (1) dN= (L/π)³dk_z *dk_y *dk_x (4) Дальнейшее вычисление удобно вести в сферической системе координат поскольку это положит.величины, то можно показать, что имеет место след.соотношение: dk_x*dk_y*dk_z=(πk²dk)/2 (5) , где k²= k²_x+k²_y+k²_z . Подставим соотн.(5) в (4), получим:

dN= (L/π)³(πk²)/2*dk (6). Запишем связь между волоновым вектором к и частотой ω: k=ω/c (7); давайте вычислим дифф.от левой и правой частей соотн(7): dk=dω/c (8); В результате:

dN= (L/π)³(π*(ω²/c²))/2* dω/c → dN= (L/π)³(πω²/2c²)* dω/c (9)

Из соотн. (9) найдем: dN/L³= ω² dω /2π²c³ (10)

Величина (10) представляет собой число колебаний в единице объема с частотами между w и w+dw. Поскольку эл.магн.колебания могут иметь две поляризации, то чтобы получить полное число эл.магн.колебаний надо умножить соотношение (10) на 2: 2dN/L³= ω² dω /π²c³ (11)

Плотность энергии излучения равна числу колебаний в единице объема, умнож. На среднюю энергию, приходящуюся на одно колебание с соответствующей частотой. Обозначим среднюю энергию через <ε>, тогда из соотн. (11) след, что ρ_ω(T)= ω² /π²c³*<ε> (12)

Для вычисления средней энергии, приходящейся на частоту w, возможны различные подходы. С классич. Точки зрения естественно считать, что поле излучения представляет собой систему, части которой колеблются с различными частотами. В статистич.механике известен закон, согласно которому энергия распространяется равномерно по всем степеням свободы статистич.системы и на каждую степень свободы приходится след.энергия: kT/2, где k-постоянная Больцмана.

Из механики известно, что при гармонических колебаниях средняя кинетическая энергия равна средней потенциальной энергии. Следовательно, в случае гармонических колебаний средняя энергия, приходящаяся на колебание с частотой w, определяется так: <ε>=<T>+<U>=2<T>=kT (13) подставляя (13) в (12) мы получим: что ρ_ω(T)= ω² /π²c³*kT (14). Данное соотн. Называется законом Релея-Джинса. Как показано излучение спектра АЧТ закон Релея-Джинса довольно хорошо описывает спект лишь для достаточно малых частот. Т.е для достаточно больших длин волн, при переходе к большим частотам м/д экспериметом и функией(14) набл.очень большие расхождения. Кроме того, ф.(14) приводит к бесконечно большой полной плотности энергии излучения, а это противоречит эксперимент. Фактам, т.о.ф (14), полученная в соотв. с классич. представлениями о поле излучения не подтверждается экспериментом.