75. Метод хорд

Так же базируется на принципе линеаризации

y-f(a)/f(b)-f(a)=x-a/b-a

y=0 x=x1

x1=a-f(a) × b-a/f(b)-f(a)

x2=a-f(a) × x1-a/f(x1)-f(a)

xn+1=a-f(a) × xn-a/f(xn)-f(a)=a-(xn-a) × f(a)-f(xn)+f(xn)/f(xn)-f(a)=xn-f(xn) × xn-a/f(xn)-f(a)

если неподвижен конец хорды A

xn+1=xn-f(xn) × b-xn/f(b)-f(xn)=b-f(b) × b-xn/f(b)-f(xn)

если неподвижен конец хорды B

неподвижным будет тот конец хорды, в котором знак ф-ии совпадает со знаком производной…

f(x) × fᶸ(x)>0

76.Метод последовательных приближений

f(x)=0 ξ Є [ a,b] (1) ɛ>0

Пусть х= φ(х) равносильно уравнению (1) при любом х₀ Є [ a,b] и подставим в правую часть (1)

х₁= φ(х₀). Найденные значения х₁ снова подставим в правую часть равносильного уравнения и

тогда х ₂ = φ(х)

………..

x_n+1= φ(х_n)

………..

x₀, x₁, x₂, x₃, …, x_n…

Установлено, что предел этой последовательности существует и является корнем f(x)=0 если

| φꞋ(х) | <1. Процесс завершается когда |x_n+1 - x_n | < ɛ

a x₀ x₁ x₂ … ξ

X₁ X1

x=x₁

|x₁ - x | < ɛ

х₁= φ(х)

x=x₀

х₀, ɛ

начало

Сходимость будет тем быстрее, чем меньше величина | φꞋ(х) |

конец

начало

Вычислить наименьший положительный не тривиальный корень уравнения x-tgx=0 E=10^-5 x=tgx tgꞋx=1/cos² x>1 x=Arctgx Arctgx=arctgx+kП Arctgx>arctgx+kП ( Arctgx)Ꞌ=1/1+x² <1

X₀=4, 7

X₁=arctgx₀+П

|x₁ - x |< 10^-5

X₀=x₁

X_0,,x₁

конец