64. Вычисление значений полинома. Схема Горнера.

Пусть дан полином n-ной степени:

P_n(x)= a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ (1)

P_n(x)= a₀+x(a₁+x(a₂+x(…+x(a_n-1+xa_n)…)))

Пример:

P₃(x)=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³

1. I=3, p=a3

2. I=0 ? нет i=2, p=a₃x+a₂

3. I=o ? нет i=1, p=(a₃x+a₂)x+a₁

4. I=0 ? нет i=0, p=((a₃x+a₂)x+a₁x+a₀

5. I=0 ? да x

P=((a₃x+a₂)x+a)x+a₀=a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀

Этот процесс вычислений численного значения многочлена весьма эффективен , т.к. требует n-умножений и n-сложений, тогда как прямое вычисление степеней х и членов многочлена требует (2n-1) умножений и n-сложений.

Переход к схеме Горнера не только сокращает объём вычислений, но и часто является единственным возможным способом получить решение задач.

Вычисление каждого отдельного члена полинома a_ixⁱ при х>1 может превысить возможности ЭВМ по представлению чисел.

70. Алгебраические и трансцендентные уравнения.

Всякое уравнение с одним неизвестным может быть представлено в виде f(x)=0 (1). Совокупность значений х, при которых уравнение (1) превращается в тождество, называется решением уравнения, а каждое отдельное значение х из этой совокупности – корнем уравнения.

Функция называется алгебраической, если для вычисления её значения по заданному значению аргумента необходимо выполнить арифметические операции и возведение в степень с рациональным показателем.

Другой большой класс функций – трансцендентные функции. К ним относятся все не алгебраические функции: показательная, логарифмическая, тригонометрическая, гиперболическая, специальные функции.

Абель доказал, что при n>=5 не существует точной формулы нахождения корней уравнения вида: a₀xⁿ+a₁x^n-1+ … +a_n-1x+a_n=0.

При помощи алгебраических операций и извлечения корней.

71. Отделение и уточнение корней.

Процесс нахождения корней уравнения разбивается на два этапа:

1. Отделение корней

2. Уточнение корней до заданной степени точности.

Отделить корни – это значит разбить область допустимых значений на отрезки, внутри каждого из которых содержится один единственный корень. Графический метод позволяет сделать это легко. Точность такого решения не велика, однако с помощью графика можно разумно выбрать начальное приближение, с которого и начнётся дальнейшее уточнение корней.

Уточнение корней. Пусть дано уравнение f(x)=0, где f(x) – непрерывная функция. Требуется найти корень этого уравнения ζ с точностью E>0.

Пусть корень определён на отрезке [a, b]. A=<ζ=<b если b-a<E, то требуемая точность достигнута и за приближённое значение корня ζ можно принять либо а с недостатком, либо b с избытком. Если же b-a>E, то необходимая точность не достигнута и необходимо сузить интервал, т.е. подобрать такие ā и ƃ чтобы ā=<ζ=<ƃ и ƃ-ā<b-a.

При ƃ-ā<E вычисления можно прекратить, в противном случае продолжаем сужение интервала.

Аналитический способ отделения корней базируется на теореме:

Если функция f(x) непрерывна на [a, b], принимает на концах отрезка значения противоположных знаков, а производная f’(x) сохраняет постоянный знак на всем отрезке [a, b], то внутри отрезка находится корень уравнения f(x)=0 и притом единственный и сводится к выполнению следующих этапов:

1. Найти f’(x)

2. Составить таблицу знаков функции f(x), полагая х=:

а) критическим значениям (корням производных) или ближайшим к ним

б) граничным значениям

3) Определить интервалы, на концах которых функция принимает значения разных знаков. На каждом таком интервале находится один единственный корень.

Методы уточнения корней включают в себя: метод половинного деления, метод золотого сечения, метод Ньютона, модифицированный метод, метод хорд, метод последовательных приближений.