- •59. Порядковые типы в языке программирования Паскаль.
- •60. Массивы в языке программирования Паскаль.
- •61. Подпрограмма-функция.
- •62. Подпрограмма-процедура.
- •63. Существование, единственность, устойчивость, сходимость, корректность численного решения.
- •64. Вычисление значений полинома. Схема Горнера.
- •70. Алгебраические и трансцендентные уравнения.
- •71. Отделение и уточнение корней.
- •72. Метод половинного деления
- •73. Метод Ньютона
- •74.Метод параллельных секущих
- •75. Метод хорд
- •76.Метод последовательных приближений
72. Метод половинного деления
Пусть d корень f(x)=0 d [a;b]=> f(a)*f(b)<0
b-a >
Возьмем точку С=
(ТУТ БУДЕТ РИСУНОК, ПОКА ДУМАЮ КАК ЛУЧШЕ СДЕЛАТЬ!)
F(c)=0 тогда с – точный корень уравнения, если f(c)<>0 то из двух образовавшихся отрезков выберем тот, на концах которого ф-я принимает значения разных знаков и для него повторяем процедуру.
Процесс деления отрезка пополам продолжается до тех пор, пока на каком-то n-ом этапе либо середина последнего отрезка будет точным корнем ур-я либо будет получен такой отрезок , такой что и во вторых станет меньше E за приближенное значение берут точку d- середину интервала
(ТУТ БУДЕТ БЛОК-СХЕМА, ПОКА ДУМАЮ КАК ЛУЧШЕ СДЕЛАТЬ!)
Метод половинного деления простой и надежный метод уточнения корней ур-я f(x)=0 он сходится для любых непрерывных ф-ий в т.ч. и недифференцируемых .
73. Метод Ньютона
Пусть корень уравнения f(x)=0 отделён на отрезке АВ, причём f’(x) и f”(x) непрерывны и сохраняют постоянные знаки на отрезке АВ. Пусть для определённости f(a)<0, f(b)<0, b’(x)>0, f”(x)>0
Проведём касательную в точке b0 и найдём точку пересечения касательной в точке x.
Теперь корень находится на отрезке ax1 проведём касательную в точке B1 (x1 f(x1))
x2 = x1 =f (x1)/f’(x1)
----------------------------------------------------------------------
X0, X1, x2….,xn,…
Процесс завершить, как только
Замечания:
Этот метод получен на основе геометрической линеаризации. Можно получить на основе метода Тейлора (разложения)
X1=x0-f(x0)/f’(x0), затем осуществляется разложение в ряд Тейлора в окрестности точки x, (это называется аналитическая линеаризация).
При выборе метода из соображений достижения заданной точности необходимо учитывать, что с увеличением числа шагов, наряду с повышением точности накапливается арифметическая погрешность.
При пользовании методом Ньютона важно правильно определить какой из концов отрезка АВ выбрать в качестве начального приближения. В качестве начального приближения выбирается тот из концов отрезка АВ ,в котором знак функции совпадает со знаком второй производной.
74.Метод параллельных секущих
В соответствии с принципом линеаризации вместо решения нелинейного ур-я f(x)=0
Стараются построить и решить такое ур-е f(x)=0, корни которого были бы возможно ближе к корням исходного нелинейного ур-я.
В этом методе вместо последовательных касательных к f(x) в точке проводят серию секущих совпадающих с f(x) в точке и проходящих параллельно самой первой касательной проведенной в точку
(ТУТ БУДЕТ РИСУНОК, ПОКА ДУМАЮ КАК ЛУЧШЕ СДЕЛАТЬ!)
Очередная секущая, проведенная в точку пересечет ось Х в точке
= -f( )/f’( )
Послед.****** (У него так написано было! Посмотрите исправьте это!!!!!!!!)
Выстраиваемая таким образом также сходится к корню ур-я f(x)=0 но медленнее чем в методе Ньютона
Но есть важное преимущество- нет необходимости каждый раз вычислять производную и производить деление
K=1/f( )
n= 1,44