Добавил:

Studfiles2 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Авиационный Технический Университет

Предмет:

Вычислительная математика

Файл:

Куликов С.П., Самохин А.Б., Чердынцев В.В. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

446

Добавлен:

02.05.2014

Размер:

554.54 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

ции систему уравнений Ρn (xi ) = yi								или в развернутом виде:
a		+ a	x		+ ... + a			x n	= y
	0	1		0			n	0		0
a		+ a	x		+ ... + a			x n	= y
	0	1	1			n		1	1 .

............................................
a0		+ a1	xn + ... + an xnn = yn

Система (n+1)-ого уравнения относительно ai , 0 ≤ i ≤ n имеет единственное решение, если xi ≠ x j так как в этом случае её оп-

ределитель не равен 0.

Существуют методы, позволяющие избежать непосредственного решения системы уравнений для нахождения ai .

2.2 Интерполяционный полином Лагранжа

Рассмотрим в начале n=1 (2.1):

Ρn (x) = a0 + a1x; a0 + a1x0 = y0 ;

a0 + a1x1 = y1

a =

y0 − y1

;

a =

y1x0 − y0 x1

− x1

x0 − x1

Подставляя коэффициенты в Ρ1 (x) , получим:

Ρ (x) = y

x − x1

+ y

x − x0

;

то есть полином представлен в ви-

0 x

− x

1 x

− x

де суммы двух линейных функций, независящих от ординат, умноженных на ординаты и обладающих свойством:

P (x ) = y			1 + y 0, P (x ) = y			0	0 + y 1.
1	0	0	1	1	1	0	1

В этом состоит идея построения интерполяционного полинома Лагранжа. Для произвольного значения n запишем интерполяционный полином в виде:

Ρn (x) = y0 L0 (x) + y1L1(x) + ... + yn Ln (x) ,

где Li полиномы степени не выше n, не зависящие от ординат, и

обладающие следующими свойством: Li (xi ) = 1,		Li (x j ) = 0 .
Из равенства, Li (x j ) = 0 следует, что Li имеет n корней (рассмат-
риваются однократные корни).
Li (x) =	(x − x0 )(x − x0 )...( x − xi −1)(x − xi +1)...( x − xn )
			,
	Ni

где Ni - коэффициент, который находится из условияLi (xi ) = 1.

В результате интерполяционный полином Лагранжа имеет вид:

( x − x0 )(x − x1)...( x

− xi −1)(x − xi +1)...( x − xn )

Ρn (x) = ∑ yi

− x )(x

− x )...( x

− x

)(x − x

)...( x

− x

)

i =0

i −1

i i +1

(2.1.1)

Достоинства интерполяционного полинома Лагранжа является простота конструкции. При заданном наборе абсцисс узловых то-

чек и выбранной расчетной точке x*упрощается вычисления для различных ординат yi . Недостаток – добавление (n+1)-ого узла

(xn+1 , yn+1 ) требует перерасчета всех слагаемых.

Погрешность вычисления: пусть f (x) – функция n+1 – раз дифференцируемая и Pn (x) – приближающий её интерполяционный полином.

f (x) − Pn (x) ≤ M n+1 (x − x0 )(x − x1)L(x − xn ) , (n+!)!

где M n+1 = max f (n+1) ( x) , x [a, b].

Интерполяционный полином Лагранжа при линейных преобразованиях x = at + b (t- новая переменная) – сохраняет свой вид.


			2.3 Интерполяционный полином Ньютона.
	Пусть n=0, тогда						P0 (x) = y0 , если
n=1,	то		выражение				для		полинома	можно записать в виде:
P ( x) = y		0	+	y1	− y0	(x − x		0	) , т. е.	поведение приближающей
P ( x) = y			+			(x − x			) , т. е.	поведение приближающей
1				x1	− x0
				x1	− x0

функции с добавлением узлов, уточняется вблизи точки х0. Конструкция интерполяционного полинома Ньютона такова:

Pn ( x) = a0 + a1(x − x0 ) + a2 ( x − x0 )(x − x1) + a3 (x − x0 )(x − x1)(x − x2 ) + K+ an (x − x0 )(x − x1)K( x − xn−1)

Рассматривается равномерная сетка, т.е. xi = x0 + ih .

Для дальнейшего анализа вводится понятие конечной разности. Конечной разностью первого порядка называется величина

y( x) = y(x + h) − y(x), x [x0 , xn ] .

Конечная разность второго порядка определяется по первой

2 y(x) = y(x + h) − y( x) = y(x + 2h) − 2 y(x + h) + y(x)

и т.д. конечная разность i – ого порядка определяется через рекуррентное соотношение:

(i+1)

y(x) = (i) y( x + h) − (i) y( x)

и зависят от значений y в (i + 1) – ой точке.

Выражение вида: x[n] = x( x − h)(x − 2h)K(x − (n − 1)h) называется обобщенным произведением. Его первая конечная разность равна:

x[n] = (x + h)[n] − x[n] == ( x + h)x(x − h)...

. (2.3.1)

...( x − (n − 2)h) − x(x − h)(x − 2h)...( x − (n − 1)h) = nhx[n−1]

Отсюда следует выражение для конечных разностей высших порядков.

Подставляя x0 в Pn (x) , получим: a0 = Pn (x0 ) = y0 . Далее, определим конечную разность в точке x0 . Из свойства (2.3.1) по-

лучим:

Pn (x) |x= x0

= {a1h + 2a2h(x − x0 ) + ...

... + nanh( x − x0 )(x − x1)K(x − xn− 2 )} |x= x0 = 2a1h =

Отсюда следует, что a =

. Точно также из (2.2) следует вы-

ражение для конечной разности второго порядка в точке x0 :

2 P (x) |

x= x0

= {2a

2 + 3 2a h2 (x − x ) +

h2 ( x − x )(x − x )K(x − x

h2 =

2 y

K+ n(n − 1)a

n−3

)} |

= 2a

x= x0

Общая формула имеет вид: a

(i) y0

i!hi

В результате получаем первый интерполяционный полином Ньютона:

P ( x) = y	0	+		y0	(x − x ) +		(2) y0	(x − x )(x − x ) + ...
P ( x) = y		+			(x − x ) +			(x − x )(x − x ) + ...
n				hi	0		2!h2	0		1
				hi			2!h2			(2.3.2)
			(n) y0							(2.3.2)
... +			(n) y0			(x − x )(x − x )K(x − x			n−1	)
... +						(x − x )(x − x )K(x − x				)
			n!hn		0		1
			n!hn

Построенный таким образом интерполяционный полином проходит через узловые точки.

Второй интерполяционный полином Ньютона позволяет начать интерполяцию с точки xn , т.е. улучшить точность прибли-

жения на правой границе интервала интерполяции

Pn (x) = a0 + a1( x − xn ) + a2 (x − xn−1)(x − xn ) +

+ a3 ( x − xn−2 )(x − xn−1)(x − xn ) + K+ an ( x − x1)(x − xn−1)K( x − xn )

Из структуры полинома следует, что a0 = yn .

Pn (x n −1) \|x = x n					=	yn −1 = {ha1 + 2ha 2 (x − x n ) + L} \|x = xn ;
a	=	yn−1	; a	2	=	2 yn−2	; и так далее. Окончательно получим:

1		h 1!				h2 2!

P (x) = y

yn −1

(x − x

) +

2 yn −2

(x − x

)(x − x

n −1

) + ...

h 2 2!

; (2.3.3)

n y0

... +

(x − x

)L(x − x

)

h n n!

При расчётах и алгоритмизации вычисления интерполяционного полинома применяется таблица конечных разностей:

Таблица 2.2

№	x	y	y	2	y	3	y	…
					y		y

0	x0	y0	y0	2 y0		3y		…
							0

1	x1	y1	y1	2 y		…
					1
2	x2	y2	y2	…

3	x3	y3	…

…	…	…

Для построения 1-ого интерполяционного полинома Ньютона необходима 1-ая строка табл. 2.2. Для построения 2-ого интерполяционного полинома Ньютона необходима побочная диагональ таблицы. Обычно при машинных расчётах массив ординат узловых точек последовательно преобразуется в массив коэффициентов ai , так что они запоминаются в соответствующих эле-

ментах массива.

2.3 Примеры и задания для практических занятий

Пример: Дана таблица узлов. Построить интерполяционный полином Лагранжа и провести проверку табл. 2.3.

Таблица 2.3

N 0 1 2 3

X	0	0,5	1	1,5

Y	1	2	3	1

В выражение (2.1) для n=3:

P3 (x) = y0					(x − x1 )(x − x2 )(x − x3 )																			+ y1		(x − x0 )(x − x2 )(x − x3 )													+
					(x	0	− x )(x			0	− x		2		)(x			0	− x		3	)				(x − x			0	)(x − x			2	)(x − x			3	)
								1																		1				1						1
y2	(x − x0 )(x − x1 )(x − x3 )																+ y3					(x − x0 )(x − x1 )(x − x2 )
	(x	2	− x	0	)(x		2	− x )(x			2	− x		3		)				(x			3	− x	0	)(x	3	− x )(x			3	− x			2	)
									1																					1

необходимо подставить данные из табл. 2.3.

P (x) = 1

(x − 0,5)(x − 1)(x − 1,5)

+ 2

(x − 0)(x − 1)(x − 1,5)

(0 − 0,5)(0 − 1)(0 − 1,5)

(0,5 − 0)(0,5 − 1)(0,5 − 1,5)

(x − 0)(x − 0,5)(x − 1,5)

(x − 0)(x − 0,5)(x − 1)

+ 1

(1 − 0)(1 − 0,5)(1 − 1,5)

(1,5 − 0)(1,5 − 0,5)(1,5 − 1)

После преобразований получим: P (x) = −4x3 + 6x 2 + 1

Проверка:

P3 (x0 ) = P3 (0) = 1 ≡ y0 ,

P3 ( x1) = P3 (0,5) = −4 / 8 + 6 / 4 + 1 = 2 ≡ y1

P3 (x2 ) = P3 (1) = −4 + 6 + 1 = 3 ≡ y2 ,

P3 (x3 ) = P3 (1,5) = −4 27 / 8 + 6 9 / 4 + 1 = 1 ≡ y3.

Пример.

Построить интерполяционные полиномы Ньютона по

предыдущей таблице узловых точек.

Первый интерполяционный поли-

№

ном Ньютона.

-3

P (x) = y

(x − x

) +

0.5

-3

-2

2 y0

1.5

(x − x0 )(x

− x1) +

;

2h 2

3y0

(x − x

)(x − x

)

6h3

P3 (x) = 1 + 2x + 0 +

− 3

x(x − 0.5)(x −1) + 1 + 2x −

6(0.5)3

;

− 4(x3 − 1.5x2 + 0.5) = −4x3 + 6x2 + 1

Второй интерполяционный полином Ньютона:

2 y

P (x) = y

− x

) +

(x − x

)(x − x

) +

2h 2

;

3y0

(x − x

)(x − x

)

6h3

P ( x) = 1 − 2

x −1.5

− 3

(x −1.5)(x − 1) +

0.5

2(0.5)2

− 3

−1.5)(x − 1)(x − 0.5) == −4x3 + 6x2 + 1

6(0.5)3

Варианты задаются по номерам столбцов табл.2.4 и 2.5 в виде

дробей:	N x	, например,	2	означает, что для узловых точек по х и
			9
	N y

у выбираются второй и девятый варианты соответственно. Каждый студент должен получить три таких дроби для расчета интерполяционного полинома Лагранжа, первого и второго интерполяционного полинома Ньютона. Результат необходимо пред-

ставить в виде: P3 (x) = a0 + a1 x + a2 x 2 + a3 x3 ,

где коэффициенты правильные или не правильные дроби, не де- сятичные. Проверка производится подстановкой узловых точек.

Таблица 2.4

	Варианты N x
n	1	2	3
0	0	-0,5	-1
1	0,5	0	-0,5
2	1	0,5	0

1,5

0,5

Таблица 2.5

							Варианты N y

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
0	-1	2	1	-1	2	1	-1	2	1	1	-1	0	2	2	1
1	2	-1	2	0	1	1	2	-2	2	-1	-1	-1	0	1	-2
2	1	1	-1	-1	-1	-1	-2	-1	-1	2	2	2	-1	0	-1
3	1	0	1	2	2	2	1	1	-1	1	-2	1	2	-2	-1

3. Численные методы решений трансцендентных и алгебраи- ческих уравнений

Общий вид уравнения f (x) = 0 . Решить уравнение, т.е. найти его корень, означает определить x* такое, что f ( x* ) ≡ 0 .

Во многих случаях точное значение x* найти невозможно, поэтому используются приближенные методы, когда значение корня определяется с заданной точностью ε . Геометрически корень

– это пересечение f (x) оси x Задача делится на 2 этапа:

1.Отделение корня – т.е. нахождение интервала, на котором изолирован единственный нужный нам корень. Выбор интервала производится путем анализа знака f (x) в ряде пробных точек. Этот процесс в общем виде не алгоритмизируется.

2.Уточнение положения корня на интервале изоляции. Свойства функции на интервале изоляции [a, b]:

•f (x) непрерывна на [a, b]

•f (x) меняет знак на [a, b],

f (a) f (b) < 0 ,

(3.1)

		19
т.е. корень существует.
•	f (x)	монотонна на [a, b] , т.е. f ′( x) > 0 или f ′( x) < 0 что
	обуславливает единственность корня
•	f (x)	не имеет точек перегиба, т.е. f ′′(x) > 0	или
	f ′′(x) < 0 , что необходимо для сходимости некоторых ме-
	тодов.

Нахождение приближенного значения корня – это итерационный процесс, когда по предыдущему (предыдущим) значениям корня находится следующее приближенное значение. Итерационный процесс прекращается, когда достигается заданная точность:

f (xn − ε ) f ( xn + ε ) < 0

(3.2)

Для этого необходимо, чтобы процесс итераций сходился. Рассмотрим несколько итерационных процедур.

3.1 Метод простой итерации для решения нелинейных и трансцендентных уравнений

Уравнение

f (x) = 0 преобразуется к виду

x = ϕ (x) , если

ϕ ′(x)

< 1, то итерационный процесс:

xk +1 = ϕ ( xk )

(3.1.1)

сходится

точному

значению.

Действительно,

xk +1 − xk

= ϕ (xk ) − ϕ (xk −1) , из теоремы о среднем следует оценка:

xk +1 − xk

≤ M1

xk − xk −1

, т.е.,

расстояние между точками после-

довательности уменьшается, если M1 < 1 - ( M1 = max ϕ ′ ). По тео-

реме о неподвижной точке в этом случае существует предел - решение уравнения. Начальная точка x0 - любая точна интерва-

ла изоляции. Скорость сходимости в этом случае зависит от вида ϕ (x) . Уравнение f (x) = 0 к преобразуется к итерационному виду различными способами. Существует также общий метод. Урав-

нение идентично следующему: x = x − λf (x) , производная правой части должна быть меньше 0 , это возможно, если λ < 2 M1 .

3.2 Метод хорд и секущих.

На интервале [a,b] заменим f (x) интерполяционным полиномом, проходящем через точки (a, f (a) и (b, f (b)):

P (x) = f (a) +	f (b) − f (a)	(x − a) .

1	b − a

В качестве первого приближенного значения корня выберем ко-

рень полинома P (x) = 0 , тогда:
1
x = a −	f (a)(b − a)	.	(3.2.1)

1	f (b) − f (a)

Далее, если поведение f ′′(x) неизвестно, то выбирают интервал,

на котором f (x) меняет знак [a; x1] или [x1;b], и на нем строят

новую хорду (т.е. в формулу подставляем новые границы интервала), и т.д. до достижения заданной точности (3.2).

′′
Если f (x) не имеет точки перегиба на [a;b], то один из концов
множества хорд неподвижен, условие неподвижной точки:
′′
с = a, еслиf (a) f (a) 0	(3.2.2)
b, еслиf (b) f ′′(b) 0

Анализ f ′′(x) позволяет определить неподвижную точку c и для нахождения xn+1 использовать итерационную формулу:

x +	= ϕ(x ) = x −		f (xn )	(c − x	),	(3.2.3)
n 1	n	n	f (c) − f (xn )	n
			f (c) − f (xn )

причем x0 = c .

Метод секущих является двухшаговым методом т.е. следующее приближенное значение корня находится по двум

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Вычислительная математика

#
02.05.2014392.2 Кб35Буслов В.А., Яковлев С.Л. Численные методы Исследование функций 2.pdf
#
02.05.20142.22 Кб13Вычисление многомерных интегралов.PAS
#
02.05.201478.85 Кб52Интерполяция функций.doc
#
02.05.2014342.53 Кб19Контрольная работа - Решение системы нелинейных уравнений.doc
#
02.05.201479.36 Кб14Контрольная работа - Решение системы нелинейных уравнений1.doc
#
02.05.2014554.54 Кб446Куликов С.П., Самохин А.Б., Чердынцев В.В. Учебное пособие.pdf
#
02.05.2014219.65 Кб325Курсовая работа - Метод Рунге-Кутта.doc
#
02.05.20142.23 Mб127Курсовая работа - Приближение функций.doc
#
02.05.20141.8 Mб128Курсовая работа - Решение систем нелинейных уравнений.doc
#
02.05.201478.34 Кб30Лабораторная работа - Задача Коши.doc
#
02.05.201467.58 Кб27Лабораторная работа - Интерполяция.doc