Добавил:

Studfiles2 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Авиационный Технический Университет

Предмет:

Вычислительная математика

Файл:

Куликов С.П., Самохин А.Б., Чердынцев В.В. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

434

Добавлен:

02.05.2014

Размер:

554.54 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>

	51
r	r	r
a1x1	+ a2 x2	+ a3 x3	= b

r1 = 2 = a1

Вектор a2 записывается в виде линейной комбинации двух ортогональных векторов, умножается скалярно на r1 и определяется коэффициент t12 :

r	r				r				r
r1	\| a2 = t12r1					+ r2 ,
	r		r
t = (r1, a2 )						=	1 + 2						−1						=					1
t = (r1, a2 )						=													=
12	r12					1 + 4							+ 1										3
	r12					1 + 4							+ 1										3
																	r
Далее вычисляется r2 :
																																			1										1						2
																																			1										1
											r							r									r																1							3
										r2			= a2									− t12r1							=			1								−				2			=			1					.
										r2			= a2									− t12r1							=			1								−			3	2			=			1					.
																																											3							3
																																																					4
																				r															−1										1				−				3
Вычисляется вектор r3																						:			r
	r					r											r								r
	a3	= t13r1 + t23											* r2 + r3													,
				(r r						)				−1 + 2 + 1																	1											(r r					)			−			2		+	1 −		4			5
				(r r						)																																(r r					)			−			2		+	1 −
	t =				r1, a3							=																=					, t				23		=				r2 , a3						=				3		3 3				= −
	t =				r1, a3							=																=					, t						=				r2 , a3						=										= −
	13				r12																6									3														r22						94 + 91 + 169										7
					r12																6									3														r22						94 + 91 + 169										7
																																−1												1								2					−		6
																																−1												1													−		6
			r			r										r										r															1							5		3									7
			r3		= a3					− t13r1										− t23r2							=						1 −										2			+				1					=		4
			r3		= a3					− t13r1										− t23r2							=						1 −								3		2			+				1					=		4
																																									3							7		3							7
																																1												1						−				4			−		2
																																1												1						−			3				−		7
						2										6											1							1
			1										−										1
			1			3							−			7							1				3					3
						3										7											3					3
A = RT =				2				1							4										0		1					−				5		.
A = RT =				2		3							7												0		1					−			7
						3							7																						7
						−			4				−			2									0		0					1
			1
			1						3							7
									3							7

Вычисление компонент вектора x :

)

0 + 4 − 4

, b

x1 + a2

+ a3

= b,

= 3;

(r , a

)

− 2

−1

−

(1) ,

a x + a

= b

1 1

−1

(1) )

2 +

, b

= 2;

(r2 , a2 )

(2) )

= b (2) ,

r , b

a1x1

− 2

x1 =

= 1.

(r1, a1 )

−1

Варианты заданий:

Найти решение СЛАУ методом Гаусса и методом ортогонализации:

9 8 3			4			1	2			1	8		2 1 7				2
9 8 3			4			1	2			1	8		2 1 7				2

1) 3 6 3			− 3		2) 5 − 4 − 7						0	3) 5 2 1				−11
						2	1 − 1				7		1 1 6
5 3 1			2			2	1 − 1				7		1 1 6				3
1 2 8		− 5				5 5 5			0				4 1 1	− 1
1 2 8		− 5				5 5 5			0				4 1 1	− 1

4) 7 1 6		− 11			5) 7 7 3				− 4			6) 2 1 4		4
						4 1 3							1 1 5
1 7 2		11				4 1 3			− 1				1 1 5	6
1 4 − 3				3		8	8 1	2					5 5 − 1				− 2
1 4 − 3				3		8	8 1	2					5 5 − 1				− 2

7) 4 2			1	11	8) 0		2 4	6				9) 1 1				1	2
	−1		0			1	1 0	0					1 0 −		2
1	−1		0	1		1	1 0	0					1 0 −		2		− 3

miter

10)35

13)52

16)51

19)10

1	6		5
1	6		5

5	2		3
0	1		− 14
1	4		3
1	4		3

4	0		− 3
0	1
0	1		3
1	1		− 1
1	1		− 1

4	3		− 2
2	0		− 4
2	6		4
2	6		4

4	0	10
1	4	− 2

11)55

14)01

17)40

20)33


8	3	14

1	7	0
4	2
		11
8	4			4


2	0		− 4
3	− 1		− 5

57 3

11 1

3	4 4
0	1 − 2

1	9	3		− 7
1	9	3		− 7

12) 4	3	1			5
	3	0
0	3	0			0
4	5	4			2
4	5	4			2

15) 2	3	2			2
	4	2
6	4	2			0
6	3	1			4
6	3	1			4

18) 4	5	3	− 4
	3	4
0	3	4	− 5

5.5.2. Итерационные методы решения СЛАУ

Найти решение СЛАУ с матрицей A = {ai, j }, i, j =1..n и правой

частью b итерационными методами Якоби, Зейделя и ОСП. Решение получить с заданной относительной точностью ε . Указать количество итераций необходимых каждому методу для

достижения заданной точности. В случаях слабой сходимости ограничиться числом miter =10..15, отразив это в результатах. От-

метить также случаи явной расходимости метода.

В качестве оптимального параметра k для сходимости метода ОСП в задаче с матрицей размером n n следует принимать:

• k = a1,1 +a2,2 −1, в случае n = 2 (и в случае периодического

продолжения на трехдиагональную матрицу с большими значением n )

• k = d −1, для задач с трехдиагональной матрицей с постоянной главной диагональю, где d = ai,i ,i =1,2,..,n . В частно-

сти, для матриц с n = 3.

В случаях расходимости всех трех используемых методов следует применить комбинированный метод Якоби-Зейделя и ОСП. Для этого потребуется найти собственные числа матрицы Якоби (5.3.2.3) и на этой основе сделать вывод о значении k для ряда оптимальной простой итерации с матрицей (5.3.3.1), в которой B -матрица Якоби. Этот же оптимальный параметр можно использовать для построения ряда простой итерации с оператором (5.3.3.1), где B -оператор Зейделя (5.3.2.5). Однако, в последнем случае оптимальный параметр, как правило, может быть значительно улучшен и в необходимых случаях он указан.

Варианты заданий.

№ вар.		A	b	ε		Примечание
№ вар.		A	b			Примечание
1.	1 0		10	10−10
1.				10−10
	−1 1		6
	3 −1		2	10−8
2.				10−8
		5
	1	5	6
	7 −1		6			Оптимальный па-
3.	7 −1		6	10−8		раметр для мето-
3.				10−8		раметр для мето-
		3				да Зейделя-ОСП
	4	3	7			k=0.1
						k=0.1
	15	−1	16
4.				10	−8
4.					−8
		8
	12	8	4
	14	−2	10
5.				10−5
5.				10−5
		6
	7	6	19

			5			2		3
6.			5			2		3		10−5
6.			−4							10−5

					−0.7			−3.3
			14			−2		12			Оптимальный па-
			14			−2		12
7.										10−5	раметр для мето-
7.										10−5	раметр для мето-
				7		1					да Зейделя-ОСП
				7		1		8			k=0.25
											k=0.25
			2 3					5			Оптимальный па-
8.			2 3					5		10−3	раметр для мето-
8.										10−3	раметр для мето-
				7							да Зейделя-ОСП
				7	−2				5		k=2
											k=2
			14			1		15			Оптимальный па-
			14			1		15
9.										10−8	раметр для мето-
9.										10−8	раметр для мето-
											да Зейделя-ОСП
			−4			−2		−6			k=1
											k=1
			14			−2		12			Оптимальный па-
			14			−2		12
10.										10−5	раметр для мето-
10.										10−5	раметр для мето-
						1					да Зейделя-ОСП
			10			1		11			k=1
											k=1
			15			−1		14
11.										10−8
11.										10−8
				3		8
				3		8		11
			14			−1		13
12.										10−5
12.										10−5
				3		6
				3		6		9
		1		10		10		21
								21
13		0 1 0						1		10−15
								11
		0		10			1
		1		10			0	11
								11
14.	10			1		−10		1		10−10
		0		10			1	11
		0		10			1

		5	−10	0	− 5
					− 5
15	10		5	10	25	10−10
		0	10	5	15
		0	10	5

При выполнении лабораторных работ с помощью пакета Mathcad указанные варианты видоизменяются до больших трехдиагональных матриц с n =100 . Для этого главная и две побочные диагонали периодически продолжаются на большую матрицу. Остальные коэффициенты матрицы нулевые. Так, матрица варианта №2 выглядит следующим образом:

	3	−1	0	0	0
			−1
1		5	−1	0	0
A =	0	1	3	−1	0

0		0	1	5	−1
	0	0	0	1	5
	0	0	0	1	5

Оптимальный параметр k для метода ОСП остаётся при этом неизменным (несмотря на трансформацию спектра матрицыуве- личение радиуса круга ΩB при неизменном положении его цен-

тра) и определяется так, как указано выше для малых матриц.

В качестве вектора правой части взять вектор с bi =1 для всех i = 0,1,2,.... Относительная точность вычислений для всех вариан-

тов ε =10−15 .

Варианты помеченные * используются только для практических работ с n=2 и для n=100 решений в виде сходящегося итерационного процесса не имеют. В этом случае выбирается вариант с номером = 16 - №вар.

Врезультате работы представить для каждого метода:

•вектор решения (несколько первых компонент)

•число итераций

•невязку решения

•спектр оператора (с помощью стандартных функций

Mathcad)

•сравнить значение оптимального параметра, полученного исходя из знания спектра оператора, и использованного

Вами в решении.

Сравнить решение СЛАУ, полученное стандартным методом Mathcad и Вашим итерационным методом.

Сделать вывод о причинах хорошей (плохой) сходимости итерационного метода.

Найти число обусловленности исходной матрицы (с помощью стандартных функций Mathcad).Для вариантов задания с быстрой сходимостью ( m <≈10..20 ) сравнить при n =1000 время решения СЛАУ стандартным методом Mathcad и итерационным методом.

5.5.3 Нахождение собственных значений и векторов

Пример: Найти собственные вектора и значения матрицы:

					4	2
					A =
					0	3
Выберем	r			0
Выберем	y	0	=		, тогда:
		0		1
				1

r	r		=	4	2 0		2	r		r	=	4	2	2	14
y	= Ay	0	=			=	,	y	2	= Ay	=				=	.
1		0							2	1
				0	3 1		3					0	3	3	9

СЛАУ имеет вид:
	2			0	14				= −7 , d		= 12 в результате полу-
d		+ d			= −	, откуда d			= −7 , d	2	= 12 в результате полу-
1	3		2				1			2
	3			1	9
чаем характеристический полином:
λ2 − 7λ + 12 = 0 , откуда λ = 3 , λ								2	= 4 .
						1		2

Построим полиномы для нахождения собственных векторов:

R1(λ ) = λ − 4 , R2 (λ ) = λ − 3,

Поэтому:

r	r	r			2	r		r	r			2	1	так как собствен-
x	= y	− 4 y	0	=	,	x	2	= y	− 3 y	0	=		,	так как собствен-
1	1		0				2	1		0
					−1							0	0

ный вектор определен с точностью до произвольного множителя. Проверка:

r				4 2	2			6		2		r	,
Ax	=					=			= 3			= 3x	,
1												1
				0 3	− 1 − 3				−		1
	r			4 2		1		4	1			r
Ax		2	=				= = 4			=		4x .
		2										2
				0 3		0		0	0
Задание для практических занятий.
a			b
Дана матрица				, Найти ее собственные значения и вектора.
			d
c			d

Варианты:

1) a = 2, b = 1, c = 1, d = 2 , 2) a = 1, b = 0, c = 1, d = 2 ,

3) a = −1, b = 2, c = 0, d = 1, 4) a = −1, b = 2, c = 0.5, d = −1, 5) a = −1, b = 3, c = 0, d = 2 , 6) a = −1, b = 2, c = 2, d = −1, 7) a = 1, b = 4, c = 1, d = 1, 8) a = −2, b = 4, c = 0, d = 1,


9) a = 3, b = 2, c = 0, d = −1, 10)		a = −2, b = 2, c = 1, d = −2 ,
11) a = 1, b = 2, c = 0, d = −2 , 12)		a = 1, b = 0, c = 3, d = −1,
13)	a = −2, b = 2, c = 0, d = −3 , 14) a = −2, b = 2, c = 0.5, d = −2 ,
15)	a = 2, b = 3, c = 3, d = 2 , 16) a = 1, b = 3, c = 3, d = 1.

6. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Рассматриваются уравнения первого порядка, разрешимые относительно первой производной с начальными условиями (x0 , y0 ) :

∂y	= f (x, y)	(6.1)

∂x

Существует теорема Коши о единственности решения диффе-

ренциального уравнения при	заданных начальных условиях
(x0 , y0 ) . Геометрически f (x, y)	определяет поле направлений на

плоскости (x, y) , а решения обыкновенного дифференциального

уравнения (ОДУ) - интегральные кривые.

Численные методы решения задачи Коши для ОДУ основаны на том, что решение можно представить в виде разложения в ряд Тейлора с любой степенью точности.

6.1 Метод разложения в ряд Тейлора.

Решение ищется в виде

y(x) = y(x ) + y′(x )(x − x ) +

y′′(x0 )

(x − x )2 + K

(6.1.1)

Функциональные зависимости y (k ) (x) известны:

y′(x) = f (x, y) ,

y′′(x) =

∂f

∂f ∂y

= f x + f y f ,

(6.1.2)

∂x

∂y ∂x

y′′′(x) = ( f

+ 2 ff

+ f 2 f

+ f

( f

+ ff

)) и т.д.

Этот метод приводит к громоздким выражениям для производных, и в основном используются для получения других численных методов.

6.2. Общая схема метода Рунге - Кутта

Одношаговые методы позволяют получить заданную точность используя только предыдущее значение y( x) . Изменение

y( x) на шаге h представляется в виде	квадратурной формулы
(типа Гаусса):
x + h	n

y = y(x + h) − y(x) = ∫ f ( x, y)dx ≈ ∑ Aiϕi ,

i =0

где ϕi = hf (x + αi h, y + βi,0ϕ0 + βi,1ϕ1 + ...βi,i −1`ϕi −1) .

Для получения коэффициентов Ai , αi и βi квадратурная сумма

разлагается в ряд по степеням h. Полученное разложение сравнивается с рядом Тейлора:

y( x) = y′(x)h + 1	y′′(x)h2 + ...	(6.2.1)
2

В общем виде выражения для коэффициентов получить трудно, поэтому рассмотрим наиболее употребительные формулы.

Введем обозначения:

ϕ0 (x) = hf ( x, y) ,

ϕ1(x) = hf (x + α1h, y + β1,0ϕ0 ) ,

(6.2.2)

ϕ2 (x) = hf (x + α2h, y + β2,0ϕ0 + β2,1ϕ1) ,

………………………………………….

ϕi ( x) = hf (x + αi h, y + β2,0ϕ0 + ... + βi,i −1ϕi −1)

Квадратурную формулу разлагаем в ряд по h:

y = h( A + A ) f + h

2 A (α f

+ β f

f ) +

1,0

(6.2.3)

h3 / 2 A (α 2 f

+ 2α β f

f + β 2 f

f ) + O(h4 )

1,0

ƒ x , ƒ y , ƒ xx , ƒ yy

частные производные по x и y ƒ(x, y).

Полученное разложение сравнивается с рядом Тейлора (6.1.1). Рассмотрим несколько частных случаев.

6.3Методы Рунге-Кутта низших порядков

6.3.1Метод Эйлера

Вквадратурной формуле ограничиваемся одним слагаемым:

y = y(x + h) − y(x) = A0ϕ0 = hf (x, y) .

(6.3.1.1)

Интегральная кривая заменяется ломаной линией, состоящей из прямолинейных отрезков. Выбирается шаг h и значение функции в точке x = x + h ищется по формуле y(x + h) = y + f (x, y)h т.е. в интегральном уравнении f(x,y) заменяется на константу.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Вычислительная математика

#
02.05.2014392.2 Кб32Буслов В.А., Яковлев С.Л. Численные методы Исследование функций 2.pdf
#
02.05.20142.22 Кб12Вычисление многомерных интегралов.PAS
#
02.05.201478.85 Кб48Интерполяция функций.doc
#
02.05.2014342.53 Кб18Контрольная работа - Решение системы нелинейных уравнений.doc
#
02.05.201479.36 Кб11Контрольная работа - Решение системы нелинейных уравнений1.doc
#
02.05.2014554.54 Кб434Куликов С.П., Самохин А.Б., Чердынцев В.В. Учебное пособие.pdf
#
02.05.2014219.65 Кб297Курсовая работа - Метод Рунге-Кутта.doc
#
02.05.20142.23 Mб118Курсовая работа - Приближение функций.doc
#
02.05.20141.8 Mб121Курсовая работа - Решение систем нелинейных уравнений.doc
#
02.05.201478.34 Кб28Лабораторная работа - Задача Коши.doc
#
02.05.201467.58 Кб26Лабораторная работа - Интерполяция.doc