Куликов С.П., Самохин А.Б., Чердынцев В.В. Учебное пособие

Добавил:

Studfiles2 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Авиационный Технический Университет

Предмет:

Вычислительная математика

Файл:

мов Лежандра: P ( x) =

- полином степени n,

.pdf

Скачиваний:

434

Добавлен:

02.05.2014

Размер:

554.54 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

предыдущим. Через две точки проводится секущая пересечение, которой оси абсцисс дает следующее приближенное значение в результате приходим к итерационной формуле:

xn+1 = xn −	f (xn )	(xn−1	− xn )	(3.2.4)
	f (xn−1) − f (xn )

3.3 Метод касательных.

(Метод Ньютона)

В этом методе в качестве x0 выбирается одна из границ интервала [a;b] и из этой точки строится касательная. В качестве при-

ближенного значения корня x1 принимается точка пересечения касательной оси абсцисс.

Из точки (x1, f (x1)		проводится новая касательная и т. д., до
достижения заданной точности (3.2).
Уравнение касательной в точке xn имеет вид:
yk (x) = f (xn ) + f ′(xn ) (x − xn ) , yk (xn +1 ) = 0 ,
отсюда следует итерационный процесс:
x	+ = ϕ (x	n	) = x	n	− f (xn )		′	.	(3.3.1)
n	1	n		n		f	′
						f	(xn )

Выражение для начальной точки x0 совпадает с (3.2.2)..

3.4 Скорость сходимости итерационных методов.

Для оценки скорости сходимости необходимо найти связь

между xn+1 − x* и xn − x* .

В случае метода простых итераций:

| xn+1 − x* |=| ϕ (xn ) − ϕ ( x* ) |≤ M1 | xn − x* |,

то есть скорость сходимости линейная.

Несмотря на схожесть выражений для метода хорд и секущих скорость их сходимости различна, так для метода хорд

получим разлагая выражение для ϕ (x) в точке x* в ряд Тейлора и ограничиваясь тремя слагаемыми:

xn+1 − x* = xn − x* −

	f (x) + f ′(x)(x − x) + f ′′(x)(x − x*) / 2							(xn − c)
−				n			n
−	f ′(x*)(x			− c)+ f ′′(x )((x − x)2 − (c − x)2 ) / 2
	f ′(x*)(x			− c)+ f ′′(x )((x − x)2 − (c − x)2 ) / 2
			n	n		n
Учитывая,				что f ( x* ) ≡ 0 ,		сокращая в числителе и знаменателе
f	′(x* )(x	n	− c) и разлагая знаменатель в ряд, получим:
		n
				xn+1 − x* =	f ′′(x)		(xn − x)(c − x)		(3.4.1)
				xn+1 − x* =			(xn − x)(c − x)		(3.4.1)
					2 f ′

Оценка (3.4.1) с учетом того, что расстояние между точками x* и c меньше длины интервала изоляции дает:

\| xn+1 − x* \|≤	M2	(b − a) \| (xn − x*) \|,	(3.4.2)

	2M1
то есть скорость сходимости линейная.
В методе секущих в выражении (3.4.2) c			необходимо заме-
нить на xn−1 . Предположим, что соотношение для скорости

сходимости имеет вид:

	*		f ′′(x) t	*		r
x	− x	=		(x − x	)		.
x	− x	=		(x − x	)
n+1			2 f ′	n
			2 f ′

Подставляя полученное из него выражение для (xn−1 − x*) в (3.8) получим для степеней r и t :

r = 1 + 1r , и r t = 1, r ≈ 1,62 , t ≈ 0,62 .

Сходимость такого вида называется сверхлинейной.

Для метода касательных, вычитая из левой и правой части (3.3.1) значение корня и разлагая функцию в ряд, получим:

	x	+1	− x* = x		− x* −
	n	+1		n
	f (x* ) + f ′( x* )(x − x* ) + f ′′( x* )(x − x* )2								/ 2
−			n				n
−				f ′(xn )
				f ′(xn )
Откуда:
	\| x		n	+ − x* \|≤		M 2	(x − x* )2	,	(3.4.3)
	\| x			+ − x* \|≤			(x − x* )2	,	(3.4.3)
				1			n
						2M1

То есть сходимость метода касательных квадратичная.

Метод хорд используется в тех случаях, когда анализ поведения второй производной затруднен. Если точки перегиба на интервале изоляции нет, то используется метод секущих или, если вычисление второй производной не требует значительного машинного времени, то быстрее всего сходящийся метод касательных.

3.5 Пример и задание для практических занятий.

Пример. Найти методом хорд, касательных и простой итерации корни уравнения:

x3 − Kx − L = 0 , К=20, L=10.

(3.5.1)

Каждый корень искать одним из предложенных методов. Для этого вначале необходимо отделить корни и выбрать метод решения. Рекомендуемый план решения приводится ниже:

1) Находятся первая и вторая производные: f ′(x) = 3x2 − K , f ′′(x) = 6x .

Очевидно, что корни (если они существуют) расположены левее, между и правее точек экстремума функции

x = ±	K	≈ ±2,582 .

1,2	3

Выбираются три интервала [a,b] и проверяется условие (3.1) на каждом интервале.

2) Для метода простых итераций уравнение преобразуется к итерационному виду: xk +1 = 3Kxk + L = 320xk + 10 и выбирается ин-

тервал [a,b]= [3,5], на котором проверяется выполнение условия (3.1). В качестве начального значения выбирается x0 = 3 , тогда

x1 = 4,12 , x1 = 4,52 .

3) Для метода хорд выбирается интервал [a,b]= [-3,3] и проверяется (3.1) f (3) f (−3) = −43 23 < 0, неподвижной точки на

этом интервале не существует, поэтому каждый раз находится новый интервал из условия (3.1), в результате, применяя (3.2.1) получим два последовательных приближенных значения корня:

x1 = −0,91, x2 = −0,33 .

	4) Для метода касательных выбирается интервал [a,b]= [-3,-
5]	и	проверяется	выполнение	условия	(3.1)
f (−5) f (−3) = −35 23 < 0 ,			выбирается начальная точка из условия
(3.2.2):		f (−5) f ′′(−5) = (−35)(−30) > 0 . По формуле (3.3.1)			прово-

дятся две итерации: x1 = −4,36 , x2 = −4,21.

Варианты для практических занятий приведены в табл.4.1:

Таблица 4.1

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
К	15	13	18	9	17	14	16	12	19	10	25	23	28	24	22	11
L	1	4	7	2	5	6	20	19	10	3	7	17	9	14	3	2

4. Численное интегрирование

Цель – приближенно вычислить определенный интеграл:

I = ∫ f (x)dx на [a,b].

По теореме Ньютона – Лейбница он равен разности верхнего и нижнего пределов первообразнойF (x) ( F′(x) = f (x) ) функции. Но для табличных функций их первообразная не суще-

ствует и даже для известных f (x) не всегда представима в виде

комбинаций элементарных функций. Интеграл геометрически равен площади криволинейной трапеции.

В численных методах интеграл ищется в виде квадратуры:

~ n

I = ∑ Ai f (xi ) . Необходимо найти оптимальным образом Ai и xi .

i=0

Обычно коэффициенты подбираются так, чтобы квадратура давала точное значение для полинома максимально возможной степени.

4.1 Метод Ньютона – Котеса

Предполагается, что значения аргументов известны и расположены равномерно. Требуется найти коэффициенты А.

Рассмотрим интервал: [ξ0 ,ξn ], ξi = ξ0 + hi .

На интервале [ξ0 ,ξn ] заменим f (x) интерполяционным поли-

номом Лагранжа (2.1.1), подставляя в него переменную q, равную:


	ξ − ξ			b − a		n	n−i	n
	ξ − ξ	0		b − a			(−1)
q =		0	h =		, получимPn (q) = ∑ yi			∏[q − j]' ,
q =			h =		, получимPn (q) = ∑ yi			∏[q − j]' ,
	h			n		i =0	i!(n − i)! j =0

где штрих означает отсутствие в произведении сомножителя с j=i

ξ0

i=0

∫ f (ξ )dξ ≈ ∫ Pn (ξ )dξ = ∑ yi Ai

коэффициенты Аi равны:

q[n+1]

b − a (− 1)n−i n

dq = (b − a)H i ,

Ai =

∫

(4.1.1)

n i!(n − i)!

(q − i)

где Hi не зависящие от интервала [a,b] – коэффициенты Котеса.

В дальнейшем рассматривается равномерная сетка узлов с шагом h.

4.2 Метод прямоугольников.

Степень полинома n = 0 P0 (ξ ) = const . Коэффициент Ко-

теса (4.1.1) при n = 0 (вычисляется как предельный переход при n → 0 ) равен 1.Интервал [ξ 0 ,ξ n ] неопределен, т.к. есть только

одна точка - ξ 0 . Геометрически это обозначает, что f(x) заменяет-

ся на интервале каким-то значением ординаты. Если интервал [a,b] велик, то его разбивают точками xi на n интервалов и на ка-

ждом применяют метод прямоугольников. Для первого интервала

приближенное значение интеграла равно	~	− x0 ) ,	где
приближенное значение интеграла равно	f ( x )(x1	− x0 ) ,	где
~
x [x0 , x1 ].
В качестве x обычно применяют:
~
x0 - метод левых прямоугольников;

x1 - метод правых прямоугольников.

На [ x1 , x2 ] повторяют ту же процедуру и результат суммируют

		n -1			n
		ë.ï . = h ∑ f (xi ) ,			ï .ï . = h∑ f (xi ) .
	I	ë.ï . = h ∑ f (xi ) ,	I		ï .ï . = h∑ f (xi ) .	(4.2.1)
		i =0			i =1
Погрешность метода			на интервале			длиной h	равна:
x+h
R(h) = ∫ f ( X )dx − f (x)h				дифференцируя		по h,	получим:
x

R′(h) = f (x + h) − f (x) = f ′(θ )h , θ [x, x + h]. После интегрирова-

ния по h: R(h) =	h2	f ′(θ ) . Абсолютная погрешность на n интер-

2

валах суммируется. В результате, учитывая, что h = (b − a) полу- n

чим: I − I пр ≤ (b − a) 2 M1 , где M1 = max | f ′(x) | . 2n

4.3 Метод трапеций.

На частичном интервале функция заменяется линейной, т.е.

1		1	1	1
n=1. H 0 = ∫	(q − 1)dq =		, H1 = ∫qdq =		. На интервале	xi , xi+1	,


0	2		0	2

заменяя f(x)	на P1(x), получим			для равноотстоящих уз-

лов: I = h( fi + fi+1 ) / 2 . То есть, площадь криволинейной трапеции

заменена площадью прямоугольной трапеции.

Суммируя по всем интервалам, приходим к выражению:

h n−1

I тр = ∑( fi + fi+1 ) , в котором внутренние ординаты встречает-

2 i=0

ся дважды. Окончательно получим:

n−1
I тр = (( f (a) + f (b) / 2 + ∑ fi )h .	(4.3.1)

i=1

Между методом трапеций и методом прямоугольников существует простая связь:

тр

I л.п. + I п.п.

(4.3.2)

Для оценки погрешности родифференцируем соотношение для R

дважды по h :

xi +1

R =

∫ fdx −

( fi + fi +1)

= f ( x + h) −

( f ( x + h) + f (x )) −

f ′(x + h) =

( f (x + h) − f (x )) −

f ′(x + h)

d 2 R

= −

f ′′(x + h) , R(0) = R′(0) = 0 .

dh2

Интегрируя R′′ дважды с заменой

f ′′ на среднее значение, при-

ходим к выражению:

R = − h3 f ′′(θ ), θ [xi , xi +1]. 12

Погрешность на интервале интегрирования есть сумма погрешности на каждом частичном интервале, мажорируя вторую про-

изводную, получим: \|	I − Iтр \|≤			(b − a)3				M 2 ,		M 2 = max \| f ′′ \|.
изводную, получим: \|	I − Iтр \|≤				12n2			M 2 ,		M 2 = max \| f ′′ \|.
					12n2
4.5 Метод парабол. (Метод Симпсона)
Степень полинома n равна двум.										Рассмотрим	интервал
длиной 2h: [xi−1 , xi+1 ]. Коэффициенты Котеса (4.1.1)равны:
2					1					2	2
H 0 = 14 ∫(q −1)(q − 2)dq =					1	,	H1 = − 12			∫q(q − 2)dq =	2	,
H 0 = 14 ∫(q −1)(q − 2)dq =						,	H1 = − 12			∫q(q − 2)dq =	3	,
0				6						0	3
0										0
	2								1
	H 2 = 14 ∫(q − 1)qdq =								1	.
	H 2 = 14 ∫(q − 1)qdq =									.
	0							6
	0
Подставляя коэффициенты в квадратурную формулу:
xi+1		h
∫	ydx =	h	( yi+1 + 4 yi + yi−1 ) .
∫	ydx =		( yi+1 + 4 yi + yi−1 ) .
xi−1	3
xi−1

Для применения метода парабол на [a , b] ,его необходимо разбить на 2n интервала, т.е. число интервалов должно быть четно. При суммировании по частичным интервалам внутренние четные точки удваиваются, В результате окончательная формула имеет вид:

n	n−1
I пар = 2 h(( y0 + y2n ) / 2 + 2∑ y2i−1 + ∑ y2i ) ,		(4.5.1)
3
i=1	i=1

где y0 = y(a) , y2n = y(b) .

Оценка метода парабол: продифференцировав три раза вы-

xi+1 h

ражение R = ∫ ydx − ( yi−1 + 4 yi + yi+1 ) и применяя теорему о

xi−1

среднем, также как и в методе трапеций, получим:

R′′′ = − h ( y′′′(x + h) − y′′′(x + h)) = −			2h2	y IV (θ ) , где θ [x		, x		].
R′′′ = − h ( y′′′(x + h) − y′′′(x + h)) = −				y IV (θ ) , где θ [x	i−1	, x	i+1	].
3	i	i	3		i−1		i+1
3

Погрешность R зависит не от третьей, а от четвертой производной, т.е. приближение имеет повышенную точность и формула парабол верна для полиномов третьей степени. Окончательно, погрешность имеет вид:

h5n

y IV (θ )

≤

(b − a)5

, M

= max y IV .

2880n4

[a,b]

На практике, достижение заданной точности определяется путем сравнения значений интеграла, рассчитанных для текущего и удвоенного числа разбиений интервала.

4.7 Квадратурные формулы Гаусса

Предварительно необходимо рассмотреть свойства полино-

x [−1,1]. Полиномы ортогональны, то есть:

∫ Pn ( x) Pm (x)dx = δ n m , гдеδ n,m - символ Кронекера.

−1

Имеют n корней на [− 1,1]. Для любого полинома Qk (x) :

∫ Pn (x) Qk (x) dx = 0 , если k < n,

−1

так как полином степени k представим в виде линейной комбинации полиномов Лежандра до степени k включительно.

Исходим из формулы общего вида:

1 n

∫ f (t) dt = ∑ Ai f (ti )

−1

i=1

Для произвольного отрезка [a, b] замена переменных x = a + b + b − a t переводит его в отрезок [−1,1], и квадратурная

формула Гаусса имеет вид:

	b − a		n	a + b		b − a
I g	=		∑ Ai f (		+		ti )	(4.7.1)
		2		2		2
			i=1

Потребуем, чтобы квадратурная формула была точна для полиномов максимальной степени 2 n − 1, а, следовательно, должна быть точна для 1, t, …, t 2 n−1 . Система уравнений:

n	1 + (−1)	k
∑ Ai tik =			нелинейная.
	k + 1
i=1
	Используем свойство полинома Лежандра:
1			n
∫t k Pn (t) dt = ∑ Ai tik Pn (ti ) = 0 при k=0,1, …, n-1.
−1			−1

Равенство интеграла нулю возможно, если ti - корни полинома

Лежандра, которые известны.

Полученные ti , подставляются в первые n уравнений системы для определения коэффициентов Ai :

A ti	+ A	ti	+ ... + A	ti	=	[1 + (−1)i ]	, 0 ≤ i ≤ n −1.

1 1	2	2	n	n		i + 1

Определитель системы – определитель Вандермонда ≠ 0 и система имеет единственное решение.

Оценка точности квадратурной формулы Гаусса проводится по формуле:


		≤	(b − a)2n+1 (n!)4 M 2n		, где M		= max f (2n) .
I − I	g		(b − a)2n+1 (n!)4 M 2n			2n
I − I
			(2n!)	3 (2n + 1)			[a,b]
			(2n!)	3 (2n + 1)			[a,b]

4.8Задание для практических занятий.

Впрактической работе исследуется сходимость различных методов в зависимости от n - числа точек разбиения.

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Вычислительная математика

#
02.05.2014392.2 Кб32Буслов В.А., Яковлев С.Л. Численные методы Исследование функций 2.pdf
#
02.05.20142.22 Кб12Вычисление многомерных интегралов.PAS
#
02.05.201478.85 Кб48Интерполяция функций.doc
#
02.05.2014342.53 Кб18Контрольная работа - Решение системы нелинейных уравнений.doc
#
02.05.201479.36 Кб11Контрольная работа - Решение системы нелинейных уравнений1.doc
#
02.05.2014554.54 Кб434Куликов С.П., Самохин А.Б., Чердынцев В.В. Учебное пособие.pdf
#
02.05.2014219.65 Кб297Курсовая работа - Метод Рунге-Кутта.doc
#
02.05.20142.23 Mб118Курсовая работа - Приближение функций.doc
#
02.05.20141.8 Mб121Курсовая работа - Решение систем нелинейных уравнений.doc
#
02.05.201478.34 Кб28Лабораторная работа - Задача Коши.doc
#
02.05.201467.58 Кб26Лабораторная работа - Интерполяция.doc

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
К	15	13	18	9	17	14	16	12	19	10	25	23	28	24	22	11
L	1	4	7	2	5	6	20	19	10	3	7	17	9	14	3	2

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
К	15	13	18	9	17	14	16	12	19	10	25	23	28	24	22	11
L	1	4	7	2	5	6	20	19	10	3	7	17	9	14	3	2

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
К	15	13	18	9	17	14	16	12	19	10	25	23	28	24	22	11
L	1	4	7	2	5	6	20	19	10	3	7	17	9	14	3	2