Уфимский государственный авиационный технический университет

Кафедра вычислительной математики и кибернетики

Курсовая работа

Метод Рунге-Кутта

Студенты ФИРТ

Группа ПО

Преподаватель

Гадилова Ф.Г.

Уфа 2007 г.

Содержание

ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………………………..…3

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1. СУТЬ МЕТОДА РУНГЕ-КУТТА…………………………………………5

1.2. НАЗНАЧЕНИЕ И ОБЛАСТЬ ПРИМЕНЕНИЯ…………………………10

ГЛАВА2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

2.1.ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ…………………………………………………………………..……….11

2.2.ВЫБОР СОСТАВА ТЕХНИЧЕСКИХ И ПРОГРАММНЫХ СРЕДСТВ…………………………………………………………………...……...16

2.3. ВЫЗОВ И ЗАГРУЗКА ПРОГРАММЫ…………………….………….…...17

2.4.ТЕСТИРОВАНИЕ ПРОГРАММЫ……………………………………...…18

ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………………...…………19

ЛИТЕРАТУРА………………………………………………………………….…………20

ПРИЛОЖЕНИЯ:

ПРИЛОЖЕНИЕ№1 (ЛИСТИНГ ПРОГРАММЫ)

Введение

Целью курсовой работы является: написать программу для нахождения приближенного решения обыкновенного дифференциального уравнения y’=f(x,y),y(a)=y0 методом Рунге-Кутта пятого порядка на отрезке [a,b] с заданным постоянным шагомh.

Для достижения данной цели необходимо выполнить следующие задачи:

1. Рассмотреть суть метода Рунге-Кутта.

2. Назначение и область применения.

3. Протестировать программу.

Данная задача относится к численным методам. Необходимо найти решение обыкновенного дифференциального уравнения с постоянным шагом h.

Для решения задачи будет использоваться язык программирования TurboPascal7.0, так как этот язык позволяет работать с математическими формулами, проводить различного рода математические операции и действия.TurboPascalфирмыBorlandявляется расширением стандарта языка и содержит интегрированную среду, данного ускоряющую и облегчающую процесс разработки программ. В языке программированияTurboPascal7.0 используется типизированный адресный оператор, открытые массивы и строки, что предоставляет пользователю дополнительные возможности при решении математических задач. В математических задачах часто требуется реализовать численные методы, экспериментально исследовать условие и скорость сходимости методов. В условии задачи, как правило, дается основная идея каждого метода (Эйлера, Рунге-Кутта и т.д.).

Вычисление функции и ее производной, используемой в задаче, рекомендуется оформлять в виде подпрограмм, так, чтобы можно было представлять любую функцию, не меняя самой программы. Погрешность, начальное условие и параметр алгоритма задаются вводом. Там, где это возможно, рекомендуется тестировать алгоритм на примерах, для которых известно или может быть найдено аналитически точное решение.

Глава 1.

1.1.Суть метода Рунге-Кутта

Метод Рунге-Кутта включает в себя несколько других таких как: метод Эйлера и метод Эйлера – Коши.

Методы Рунге-Кутта обладают следующими свойствами:

1. Эти методы являются одноступенчатыми: чтобы найти у_m+1нужна

информация о предыдущей точке xmym

2 Они согласуются с рядом Тейлора вплоть до членов порядка h^pгде степень р различна для различных методов и называется порядковым номером или порядком метода

3Они не требуют вычисления производных от f (xy) а требуют вычисления самой функции

Рассмотрим сначала геометрическое построение и выведем некоторые формулы на основе геометрических аналогийПосле этого мы подтвердим полученные результаты аналитически(Аналитический метод, применяется которого дает решение дифференциального уравнения в виде аналитического выражения; Графический метод, дающий приближенное решение в виде графика; Численный метод, когда искомая функция получается в виде таблицы.)

Предположим нам известна точка xmym на искомой кривой Тогда мы можем провести прямую линию с тангенсом угла наклона у_m=f(x_my_m) которая пройдет через точку x_my_m Это построение показано на рис1 где кривая представляет собой точное но конечно неизвестное решение уравнения а прямая линия L1 построена так как это только что описано

Тогда следующей точкой решения можно считать тугде прямая L₁пересечет ординату, проведенную через точку x=x_m+1=x_m+h

Уравнение прямой L₁выглядит так: y=y_m+y_m(x-x_m) так как y=f(x_my_m) и кроме тогоx_m+1=x_m+h тогда уравнение примет вид

y_m+1=y_m+h*f(x_my_m) 1.1.

Ошибка при x=x_m+1показана в виде отрезка еОчевиднонайденное таким образом приближенное значение согласуется с разложением в ряд Тейлора вплоть до членов порядка hтак что ошибка ограничения равна e_t=Кh²

Заметимчто хотя точка на рис.1 была показана на кривойв действительности y_mявляется приближенным значением и не лежит точно на кривой

Формула 11 описывает метод Эйлера один из самых старых и широко известных методов численного интегрирования дифференциальных уравнений Отметим что метод Эйлера является одним из методов Рунге-Кутта первого порядка

Рассмотрим исправленный метод Эйлера и модификационный метод Эйлера. В исправленном методе Эйлера мы находим средний тангенс угла наклона касательной для двух точек: x_my_mи x_m+hy_m+hy_mПоследняя точка есть та самаякоторая в методе Эйлера обозначалась x_m+1y_m+1Геометрический процесс нахождения точки x_m+1y_m+1можно проследить по рис2. С помощью метода Эйлера находится точка x_m+hy_m+hy_mлежащая на прямой L₁В этой точке снова вычисляется тангенсдает прямуюLНаконецчерез точку x_my_mмы проводим прямую LпараллельнуюLТочкав которой прямая L пересечется с ординатойвосстановленной из x=x_m+1=x_m+hи будет искомой точкой x_m+1y_m+1