ЛИСТ ДЛЯ ЗАМЕЧАНИЙ

СОДЕРЖАНИЕ

ЛИСТ С ЗАДАНИЯМИ 3

ВВЕДЕНИЕ 6

1 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 7

2 ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 11

2.1 Задача 1 11

2.2 Задача 2 11

2.3 Задача 3 12

2.4 Задача 4 13

2.5 Задача 5 14

2.6 Задача 6 15

2.7 Задача 7 16

2.8 Задача 8 16

2.9 Задача 9 17

2.10 Задача 10 17

ПРИЛОЖЕНИЕ А 20

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 21

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 22

Лист с заданиями

Задача 1:

Вычислить определенный интеграл

а) ;

б) ;

в) .

Задача 2:

Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость

а) ;

б) .

Задача 3:

Найти площадь фигуры, ограниченной указанными линиями:

, .

Задача 4:

Найти площадь фигуры, ограниченной указанными линиями:

, .

Задача 5:

Найти площадь фигуры, ограниченной указанными линиями:

, .

Задача 6:

Найти площадь фигуры ограниченной указанной линией:

.

Задача 7:

Вычислить длину дуги ограниченной данными линиями:

, .

Задача 8:

Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры ограниченной графиками функции:

(относительно Ox).

Задача 9:

Вычислить площадь поверхности, образованной вращением кривой вокруг указанной оси:

, (относительно Ox).

Задача 10:

Вычислить приближенно определенный интеграл, используя формулу Симпсона:

.

Введение

В работе я попробую найти площадь плоских фигур, площадь поверхности вращения, длину дуги и объем тела с помощью определенных интегралов, приближенное значение определенного интеграла с помощью формулы Симпсона и попытаюсь доказать одну из используемых формул.

1 Теоретическая часть

Для решения поставленных задач я воспользуюсь таблицей интегралов (приложение А), рядом формул и свойствами определенных интегралов для нахождения определенных интегралов, а именно (a и b – пределы интегрирования, F –первообразная от f):

1. Формула Ньютона-Лейбница (все задачи): ;

2. Если - четная, то (задача 3);

3. Формула по частям (задача 1(б)): ;

4. Замена переменной (задача 1(в)): , где [1];

5. Формула для нахождения несобственного интеграла первого рода (задача 2 (а)): ;

6. Формула для нахождения несобственного интеграла второго рода (функция f(x) имеет разрыв в точке ) (задача 2 (б)): ;

7. Формула для нахождения площади плоских фигур в декартовой системе координат y = y(x) (см. рисунок 1) (задача 3): ;

Рисунок 1

8. Формула для нахождения площади плоских фигур при параметрическом задании функции (задача 4): , где (важен порядок получения пределов интегрирования) [2];

9. Формула для нахождения площади плоских фигур в полярной системе координат (см. рисунок 2) (задача 5): ;

Рисунок 2

10. Формула для нахождения площади плоских фигур в полярной системе координат (см. рисунок 3) (задача 6): ;

Рисунок 3

11. Формула для нахождения длины дуги при параметрическом задании функции (задача 7): (в порядке увеличения пределов интегрирования);

12. Формула для нахождения объема тела вращения в декартовой системе координат (см. рисунок 4) (задача 8): , ;

Рисунок 4

13. Формула для нахождения площадь поверхности вращения при параметрическом задании функции (задача 9): [3];

14. Формула Симпсона [4] для нахождения приближенного значения определенного интеграла (задача 10): ,

где ,

- предельная абсолютная погрешность,

n=2k - шаг;

(k = 0, 1,…, n)

Значения y берем из таблицы 1:

=а
=
…	…

Таблица 1

Докажем формулу №10: .

Пусть – непрерывная функция при и кривая задана уравнением Покажем на рисунке 5 эту кривую и найдем площадь сектора ОАВ. Для этого разобьем сектор радиус-векторами на n частей: . Пусть – углы между радиус-векторами. Обозначим через – длину какого-либо радиус-вектора соответствующего угла , заключенного между (см. рисунок 6).

Рисунок 5 Рисунок 6

Площадь кругового сектора с радиусом находится по формуле

,

при ,

проинтегрируем полученное равенство в пределах от до и получим искомую площадь [5].

2 ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

2.1 Задача 1

а)

Ответ: .

б) ;

	x	x+1
	x+1	1
	-1

Ответ: 1.

в) ;

Ответ: .

2.2 Задача 2

а) ;

Ответ: Несобственный интеграл сходится.

б) (несобственный интеграл второго рода, функция имеет разрыв в точке 1) ;

Ответ: Несобственный интеграл сходится.

2.3 Задача 3

x	-2	-1	0	1	2
y	1/5	1/2	1	1/2	1/5

, составим таблицу значений:

x	-2	1	0	1	2
y	2	1/2	0	1/2	2

, составим таблицу значений:

Построим графики функций (рисунок 7).

Рисунок 7

Найдем площадь (S) заштрихованной области (рисунок 7).

(ед²);

Ответ: (ед²)