1. Классическое вариационное исчисление

1.1. Понятие вариационного исчисления

Зарождение вариационного исчисления обычно датируется 1669г., когда И. Бернулли поставил задачу о брахистохроне (кривой кратчайшего времени): из всех линий, соединяющих две данные точки А и В, не лежащих на одной вертикали, требуется найти ту кривую, по которой материальная точка переместится из точки А в точку В (без начальной скорости под действием одной силы тяжести) за кратчайшее время (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Кривая кратчайшего времени (циклоида).

Задача была решена видными математиками, такими как Г. Лейбниц, И.Ньютон, Г. Лопиталь.

Искомой кривой оказалась циклоида:

Однако наибольший вклад внёс Леонард Эйлер. Он впервые даёт общий метод решения различных типов вариационных задач.

Вариационным исчислением называется раздел математики, в котором рассматриваются задачи определения максимума и минимума функционалов, а также определение функций (кривых), на которых эти максимумы и минимумы достигаются.

Методы решения вариационных задач схожи с методами исследования функций на максимум и минимум. Только здесь роль первой и второй производных функций играют первая и вторая вариации функционалов.

1.2. Экстремум функционала. Необходимое и достаточное условия экстремума

Вывод необходимых условий экстремума функционалов рассматривают с учётом приращений функционала при малых изменениях его аргумента, которыми являются функции y(x), т.е. сравнивают между собой функционалы на кривой y(x), мало отличающиеся друг от друга.

Две кривые y₁(x) и y₂(x) считаются близкими, если для любого x их ординаты мало отличаются, то есть модуль разности y₂(x) и y₁(x) достаточно мал.

(1.1)

При выполнении условия (1.1) говорят, что функции y₁(x) и y₂(x) близки в смысле близости нулевого порядка.

Две кривые y₁(x) и y₂(x) считаются близкими в смысле близости первого порядка, если выполняется неравенство:

(1.2)

Аналогично можно говорить о близости k-го порядка, если малы модули разности функций и их первых k-производных.

1.2.1. Приращение функционала

Приращение функции y(x + ∆x) вызовет приращение функционала. Под функционалом понимается определённый интеграл:

, (1.3)

где x – аргумент; y – функция у(x); – производная функции у(x);F – подынтегральная функция; x₁ и x₂ – пределы интегрирования.

Функционал (1.3) с заданной подынтегральной функцией , является простейшим функционалом с закреплёнными границами x₁ и x₂.

Функционал I [y(x)] достигает локального экстремума на кривой y₀(x), если разность (1.4) сохраняет знак в некоторой окрестности y₀(x).

∆ I= I [y(x)] – I [y₀(x)] (1.4)

Если окрестность определяется неравенством (1.1), то экстремум называется сильным, если – (1.2), то слабым.

Если неравенство

I [y(x)] ≥ I [y₀(x)]

имеет место для всех кривых y(x), принадлежащих области определения функционала G, то на кривой y₀(x) достигается абсолютный максимум функционала, если же:

I [y(x)] ≤ I [y₀(x)]

то достигается абсолютный минимум функционала.

1.2.2. Необходимое условие экстремума функционала

Теорема 1.1. Пусть функционал I(y) дифференцируем в области G и на кривой y₀(x) достигает локального экстремума. Тогда первая вариация функционала равна нулю, т.е. δI(y₀,h)≡0, где h – приращение функции.

Теорема 1.2. Для того чтобы дважды дифференцируемый в области G функционал I(y) достигал при y₀(x) локального минимума (максимума), необходимо чтобы для любого допустимого приращения h выполнялось условие: δ²I(y₀,h)≥0 (δ²I(y₀,h)≤0).