Проверить модель на адекватность.

Независимо от вида и способа построения трендовой модели возможность её применения для анализа и прогнозирования может быть решена только после проверки её адекватности и точности. Трендовая модель считается адекватной, если правильно отражает систематические компоненты временного ряда.

Эти требования эквивалентны следующему требованию:

Остаточная компонента (случайная): (исходный временной ряд минус найденная модель – ряд остатков) должна отвечать (соответствовать) следующим условиям (свойствам):

1. Случайность колебаний уровней ( - случайная величина)

2. Соответствие распределения случайной компоненты нормальному закону распределения

( - подчиняется нормальному закону распределения)

3. Равенство математического ожидания случайной компоненты нулю

( – при 2-ом условии = 0)

4. Независимость значений уровней случайной компоненты (отсутствие автокорреляции)

(уровни – независимые, т.е. внутренняя корреляция отсутствует)

Свойство №1. О случайность колебаний уровней.

I. Критерий серий

Основан на медиане выборки: - медиана выборки

(Расставить ряд в порядке возрастания и найти середину)

Создается новый ряд, состоящий, в основном из + и – :

Если > =>

Если < =>

Если = =>

Получаем серии из плюсов и минусов. Один + => серия количества 1, затем считаем количество серия и обозначаем

Выбираем серию максимальной длины, и обозначаем как K max.

Чтобы модель считалась адекватной и верной, должно выполняться:

Если соответствуют условиям, то с вероятностью наша выборка считается случайной, т.е. гипотеза о случайности выбранных данных будет иметь место.

Если хотя бы одно из условий будет нарушено, модель считается неверной, неадекватной.

II. Критерий поворотных точек (критерий пиков).

Каждый элемент ряда сравниваем с двумя соседними значениями . Если , больше, чем и , то считается максимумом (+).Если , меньше, чем и , то считается максимумом (-).

И в том и в другом случает значение , отличное от других, является поворотной точкой. Общее количество поворотных точек (min и max) обозначается как .

Математическое ожидание числа поворотных точек определяется по таблице или по формуле: .

Дисперсия числа поворотных точек определяется, также, по таблице или по формуле:

При проверяется следующее условие: . Если это условие выполняется, то считается, что выборка случайная и 1ое условие выполнилось, иначе – выборка не случайная и модель не адекватна.

Свойство №2. Проверка соответствия распределения случайной компоненты нормальному закону распределения.

1ый способ. Это свойство может проверяться с помощью показателей асимметрии и эксцесса.

Находятся коэффициенты асимметрии и эксцесса для ряда . Затем для этих коэффициентов находятся дисперсии по формулам:

А далее должно выполняться следующее условие:

Если это условие выполняется, то второе свойство верно и распределение случайной компоненты соответствует нормальному закону распределения.

Если же , модель не адекватна.

2ой способ. Также свойство №2 может проверяться с помощью критерия согласия .

Последовательность действий:

1. Разбиваем на группы по формуле: , где , соответственно, количество групп (но чаще всего количество групп принимается равным 6, для упрощения расчетов).

2. Находим размах вариации:

и длину интервала: ,

3. Затем разбиваем нашу выборку на интервалы:

и т.д. до

4. После разбиения выборки на интервалы считаем количество значений , попадающих в интервалы (или так, чтобы .

5. Находим вероятность попадания значений в , при этом считаем, что

Т.к. мы проверяем нормальное распределение, то берем вместо функцию нормального распределения:

После того, как мы нашли все вероятности попадания в интервалы нужно проверить условие: . Если это условие не выполняется, нужно объединять соседние интервалы так, чтобы это условие выполнилось.

6. Затем находим критерий :

При заданном уровне значимости и числом степеней свободы находим и сравниваем его с .

Если , то основная гипотеза принимается, распределение случайной компоненты соответствует нормальному закону распределения.

Свойство №3. О равенстве математического ожидания случайной компоненты нулю.