Сглаживание (выравнивание) временного ряда.

С целью более четко выявить тенденцию развития в том числе для дальнейшего применения методов прогнозирования на основе трендовых моделей производят сглаживание временных рядов. Сглаживание всегда предполагает некоторое усреднение данных, при котором несистематические компоненты взаимно погашают друг друга.

Методы сглаживания делятся на две группы:

- аналитическое – сглаживание с использованием кривой, проведенной между конкретными уровнями ряда, чтобы она отображала тенденцию, присущую ряду и, одновременно, освобождала его от незначительных колебаний.

- механическое – сглаживание отдельных уровней с использованием фактических значений соседних уровней.

Первым рассмотрим механический метод сглаживания: метод простой скользящей средней (МПСС).

Саамы простой метод сглаживания – метод скользящей средней, в котором каждый член ряда заменяется простым или взвешенным средним соседних членов, где – интервал сглаживания – сколько элементов нужно взять для сглаживания.

Если необходимо сгладить мелкие беспорядочные колебания, то интервал сглаживания берут по возможности большим. Интервал сглаживания уменьшают, если нужно сохранить мелкие колебания. При прочих равных условиях интервал сглаживания рекомендуется брать нечетным.

Для первых уровней выясняется их средняя арифметическая – это будет сглаженное значение уровня, находящееся в середине интервала сглаживания.

Затем интервал сдвигается на один уровень вправо и повторяется вычисление средней арифметической и т.д.

Трендовые модели (аналитическое сглаживание).

В случае аналитического сглаживания фактические уровни ряда заменяются теоретическими, рассчитанными по определенной кривой, отражающей общую тенденцию изменения показателя во времени. Эти кривые получили название кривых роста. Существует большое количество кривых роста (трендовых моделей), которые описывают временной ряд.

Наиболее часто используются:

• Полиномиальные;

• Экспоненциальные;

• S-образные кривые.

Полиномиальные кривые используются для приближения (аппроксимации) и прогнозирования временных рядов, в которых последующее развитие не зависит от достигнутого уровня.

В отличие от полиномиальных моделей, использование моделей экспоненциальных предполагает, что дальнейшее развитие зависит от достигнутого уровня.

В экономике распространены процессы, которые сначала растут медленно, затем ускоряются, затем снова замедляют свой рост и т.д. S-образные кривые применяются для описания именно этих процессов.

Аналитическое сглаживание: Метод характеристик прироста.

При этом методе исходный временной ряд предварительно сглаживается методом простой скользящей средней

Но чтобы не потерять первый и последный уровни, для них рекомендуется:

Затем вычисляются первые средние приросты , вторые средние приросты , а также ряд производных величин, связанными с вычисленными средними приростами и сглаженными уровнями ряда: .

В соответствии с найденными показателями и соотношениями выбирается вид кривой роста для исходного временного ряда.

На практике при предварительном выборе отбирают несколько кривых роста для дальнейшего исследования и построения трендовой модели данного временного ряда.

Для выбора вида полиномиальной кривой используется метод конечных разностей или метод Тинтнера.

Ограничения метода Тинтнера:

- уровни временного ряда состоят только из двух компонент: тренд и случайная компонента.

-тренд является достаточно гладким, чтобы его можно было приближать (аппроксимировать) к полиному.

Как работает метод:

1. Вычисляются разности до порядка включительно.

и т.д. до порядка включительно.

Обычно вычисляются конечные разности до 4-ого порядка включительно.

2. Затем вычисляется дисперсия:

3. Далее производится сравнение отклонений каждой последующей дисперсии от предыдущей.

Если эти величины меньше некоторой наперед заданной положительной величины, то степень полинома должна быть равна

После того, как модель выбрана, и ее параметры оценены, мы должны: