Вопрос 20

//

Теорема о достижимости верхней и нижней грани значений (45)

Теорема

Ф-ия , непрерывная на компакте, достигает на нем точную верхнюю и точную низнюю грани мн-ва своих значений

Пусть Предположим противное :

Рассмотрим ф-ию Тогда по пред.теореме -огр.на мн-ве D. След-но , найдется т.ч.

След-но,

Это противоречит тому, что

Для точной нижней гране док-во аналогично

Вопрос № 9

Теорема (о замене переменной в неопределенном интеграле) :

Пусть дана ф-ия

пусть

пусть , тогда :

Достаточно доказать, что ( из этого будет следовать, что .

Пример:

Теорема о множестве значений непрерывной (46)

Теорема :

Ф-ия , непрерывна на связном компакте принимает все свои промежуточные значения

По пред.теореме т.ч. ;

т.к.D- связное мн-во, то непрерывная кривая т.ч.

1)

2)

Р-м ф-ию - фи-я одной переменной на

Т.к. -непрерывна то

Следовательно принимает все свои промежуточные значения

*рисунок*

Вопрос 13

Опр: Выражение вида наз-ся простейшей дробью -го типа

Опр: Выражение вида наз-ся простейшей дробью -го типа

Опр: Выражение вида наз-ся простейшей дробью -го типа

Опр: Выражение вида наз-ся простейшей дробью -го типа

Теорема :

Пусть многочлен разложен на

где

и взаимно простые многочлены . По док.теореме

Многочлен разложим на степени : . Тогда дробь дробь и типов для всех . Многочлен степни , разделим на с остатком , тогда

Вопрос 12

Опр: Многочлен делится (нацело )на многочлен , если многочлен , т.ч.

Опр:Многочлен делиться на многочлен с остатком , если найдутся мн-ны и

1)

2) , где -неполное частное , -остаток

Опр: Пусть даны многочлены и , тогда многочлен наз-ся их наибольшим общим делителем(НОД), если

1) делиться на

2) делиться на

3)Если -общ.делитель многочлена и , то делится на

Теорема :

ПУсть даны многочлены и , пусть НОД , тогда сущ.многочлены и , т.ч. = * + *

Пусть

Без потери общности

Разделим на с остатком

причем (1)

Разделим на с остатком

причем (2)

Разделим на с остатком

причем (3)

и т.д.

Поскольку , следовательно

на каждом шаге степень остатка строго уменьшается . След-но, на некотором шаге остаток будет равен 0.

Тогда из последнего равенства следует, что

Подставляя предыдущих равенств и приводя подобные слагаемык при и , приходим к равенству

Вопрос № 10

Теорема (Формулы интегрирования по частям)

Пусть даны ,тогда

Замечание : формула интегрирования по частям записывают в дифференциальный формуле:

Примеры:

1)

2)

Теоремы сравнения для несобственных интегралов (37)

Теорема(Признаки сравнения) :

Пусть , пусть

1) Если

2) Если

1)

2) Аналогично

Теорема (Предельный признак сравнения)

Пусть

Пусть

Пусть

Пусть

Вопрос № 4

Опр : Точка наз-ся точкой перегиба , если и явл-ся границей двух различных интегралов выпуклости

*дорисовать график*

Теорема (Необходимые условия перегиба)

Если - точка перегиба, то либо либо

Если - то теорема доказана

Пусть - сущ-ет и она

Рассмотрим случай , когда -аналог

, тогда по формуле Тейлора

Раз , то т.ч. для будет вып-но :

в точке ф-ия выпуклая вниз. Это противоречит тому , что в точке - точка перегиба . Значит наше предположение неверно

Формула замены переменной в определеном интервале (26)

Теорема :

Пусть дан и задана ф-ция , причем

Пусть -некоторая первообразная ф-ии на . Тогда по теореме о замене переменной в неопред.интеграле :

Следовательно ,

Формула интегрирования по частям (26)

Пусть ф-ии и обладают непрер-ой производной на , тогда

. По формуле Н-л.:

Пример :

1)

2)