4.Векторы. Скалярное и векторное произведения векторов.

Скалярное произведение двух векторов a и b определяется как

a·b=|a|* |b|* cos γ если a≠0 и b≠0

a·b=0 если a=0 или b=0

где γ угол между a и b

Применяя это правило к единичным векторам i, j, kнаходим

i·i = j·j =k·k = 1

i·j =j·i = i·k = k·i =j·k=k·j = 0

Приравнивая a=b, получаем a·a = |a|^2 ,так что |a|=

Важные свойства скалярного произведения:

1)c(ku·v) =ck(u·v)

2)(cu + kv) · w = cu·w + kv·w

3)u·v = v·u

4)u·u = 0 только если u = 0

Скалярное произведение векторов u = [u1 u2 u3 ] v = [v1 v2 v3] может быть вычислено как

u·v=u1v1 + u2v2 + u3v3

Векторное произведение двух векторов а и b обозначается

a b

и равно вектору v, который обладает дующими свойствами.

Если а = сb для некоторого скаляра с, то v=0. В противном случае длина вектора v равна

| v | = |a| |b| sin γ

где γ – угол между векторами а и b, а направление вектора v перпендикулярно обоим векторам а и b и таково, что a, b, v именно в таком порядке образуют правостороннюю тройку. Последнее означает, что, если вектор а поворачивается на угол γ < 180 в направлении к вектору b, то вектор v имеет направление перемещения винта с правой резьбой, поворачиваемого в том же направлении. Из этого определения можно вывести следующие свойства векторного произведения

(k*a) b = k*(a b) для любого вещественного числа k;

a (b + c) = a b + a c

a b = -b a

В общем случае a (b c) (a b) c.

Используя правую ортогональную систему координат с единичными векторами i, j, kб будем иметь

i i = j j = k k =0

i j=k, j i=i; k 1 = j; j i=-k; k*j=-i; i k=-j;

Используя эти значения векторных произведений в расширенной записи векторного произведения

a b = (a1i + a2j + a3k) (b1i + b2j + b3k)

получим

a b = (a2 b3 – a3 b2) i + (a3 b1 – a1 b3) j

что может быть записано в виде

a b = i + j + k

или в форме более удобной для запоминания

a b =

Если через векторы а и b обозначены соседние стороны параллелограмма, то площадь этого параллелограмма равна длине вектора a b

 Смешанное и векторное произведения векторов в координатной форме.

Теорема. Пусть  ,  ,  . Тогда:

1)

2) 

Векторное произведение часто записывают в форме определителя:

                           .

Разумеется это не определитель, а лишь форма записи векторного произведения. Она компактна и удобна для запоминания.

Следствие. Определитель не изменяется при круговой перестановке строк (столбцов) определителя. При транспозиции двух строк (столбцов) определитель меняет знак.

5.Однородные координаты.

Запись  [x y 1] для обозначения матрицы, состоящей только из одной строки, называется вектором-строкой. Такая запись может рассматриваться как частный случай записи [x y w], где числа  x, y, w называются однородными координатами. Эти три числа однородных координат применяются для обозначения точки в двумерном пространстве.

На рисунке имеем ось х и ось w, так что точка задается парой координат (x,w). Любая точка Р (x,y), не лежащая на оси х, имеет свою центральную проекцию Р’(X,1), определяемую как точка пересечения прямой линии ОР с прямой линией l, описываемой уравнением w=1.Точка начала координат является центром проекции. Отрезок прямой линии РО  может рассматриваться как луч света из объекта Р в глаз, расположенный в точке О. Для точек Q(0, w) и Q’(0,1) получим два подобных треугольника OPQ и OP’Q’, так что

Х=

Все точки (x,w) со свойством x=wX лежат на линии ОР и имеют одну и ту же проекцию P’ Если интересоваться только проекциями на прямую линию l, а не фактическими значениями x и w, то имеет значение только их отношение. Вполне естественно учитывать только одну координату Х вместо пары (Х, 1), если учитывать только точки на прямой l. Если же все-таки требуется использовать координатную пару, то подойдет любая пара чисел (x,w), удовлетворяющая условию x/w=X. В геометрическом смысле координатная пара (wX, w) любой точки Р, отличной от О, на прямой ОР’ может служить обозначением точки P'. Это и реализуется в случае применения однородных координат.