14. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Интегрирование лоду -го (второго) порядка с постоянными коэффициентами.

Уравнение вида

где a₁, …, a_n – некоторые постоянные, называется линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами

В общем случае у однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами имеется так называемое характеристическое уравнение Корни этого уравнения – характеристические числа – являются показателями степеней слагаемых, входящих в решение. Если среди корней уравнения нет кратных, то решением однородного уравнения является функция вида где все – некоторые константы, зависящие от начальных условий. Количество слагаемых в этой функции совпадает со степенью дифференциального уравнения. Если же, скажем, – корень характеристического уравнения кратности m, то соответствующее слагаемое принимает вид а общее количество слагаемых, входящих в решение однородного дифференциального уравнения уменьшается на m – 1.

15. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения -го (второго) порядка. Теорема о структуре общего решения ЛНДУ -го (второго) порядка. Метод вариации произвольной постоянной. Теорема о наложении решений.

Дифференциальное уравнение называется линейным, если неизвестная функция и все ее производные входят в уравнение линейно:

Если f (x) тождественно равна нулю, то уравнение называется однородным; в противном случае оно называется неоднородным.

Терема 1 о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с непрерывными на интервале (a, b) коэффициентами и правой частью

Ln(y) = ;

(20)

равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения

Ln(y) = ;

(21)

и частного решения неоднородного уравнения (20)

Теорема 2 о наложении решений. Если y_1,чн(x) - частное решение неоднородного уравнения L_n(y) = f₁(x), y_2,чн(x) - частное решение неоднородного уравнения L_n(y) = f₂(x), то функция является частным решением неоднородного уравнения .

Метод вариации произвольных постоянных для построения решения линейного неоднородного дифференциального уравнения

Метод состоит в замене произвольных постоянных в общем решении

соответствующего однородного уравнения

на вспомогательные функции , производные которых удовлетворяют линейной алгебраической системе

Определителем системы (1) служит вронскиан функций , что обеспечивает её однозначную разрешимость относительно .

Если — первообразные для , взятые при фиксированных значениях постоянных интегрирования, то функция

является решением исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения.

16. Интегрирование ЛНДУ -го (второго) порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.

Дифференциальное уравнение называется линейным, если неизвестная функция и все ее производные входят в уравнение линейно:

Если f (x) тождественно равна нулю, то уравнение называется однородным; в противном случае оно называется неоднородным.

Метод подбора частного решения неоднородного уравнения с правой частью специального вида. Методом Лагранжа может быть решено любое неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами. Однако если свободный член в уравнении (20) имеет вид

.

(37)

где P_m1(x) и Q_m2(x) - многочлены степеней, соответственно, m₁ и m₂, можно сразу указать вид частного решения в форме с неопределёнными коэффициентами. Общее правило таково: составим из коэффициентов при x в экспоненте и тригонометрических функциях число и пусть r - кратность числа s₀ как корня характеристического уравнения, m = max(m₁, m₂). Тогда частное решение надо искать в виде , где R_m(x) и S_m(x) - многочлены степени m с неопределёнными коэффициентами. Дифференцируя функцию y_чн n раз, подставив эти производные в уравнение и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x и одинаковых тригонометрических функциях (sin x или cos x), получим систему из 2(m + 1) уравнений относительно 2(m + 1) неопределённых коэффициентов многочленов R_m(x) и S_m(x). Решив эту систему, определим коэффициенты функции y_чн(x). Технику работы с этим правилом будем осваивать, начиная с простейших случаев, при этом будем формулировать частные правила, вытекающие из общего. I. Если f(x) = P_m(x) (т.е. f(x) - многочлен степени m), то частное решение ищется в виде y_чн(x)= R_m(x), если число 0 не является корнем характеристического уравнения, и в виде y_чн(x)= x^r R_m(x), если число 0 - корень характеристического уравнения кратности r. R_m(x) - многочлен степени m с неопределёнными коэффициентами. Это правило следует из общего, если записать f(x) = P_m(x) в виде f(x) = e^{0 x} [P_m(x) cos 0x + 0 sin 0x]. В этом случае s₀ = 0 + 0i, m₁ = m, m₂ = 0, max(m₁, m₂) = m, поэтому y_чн(x)= x^r e^{0 x} [R_m(x) cos 0x + S_m(x) sin 0x] = x^r R_m(x) .