Уравнения в полных дифференциалах. Понятие интегрирующего множителя. Уравнения в полных дифференциалах
Если
в уравнении
левая часть представляет собой полный
дифференциал, то есть
,
то такое уравнение называется уравнением
в полных дифференциалах (частный
случай так называемого пфаффова
уравнения). Интегральные кривые такого
уравнения суть линии уровней функции
,
т.е. определяются уравнением
при
всевозможных значениях произвольной
постоянной
.
Если
в области
выполнено
условие
,
то общее решение уравнения (1) определяется
из уравнения
как
неявная функция
.
Через каждую точку области
проходит
единственная интегральная кривая
уравнения
(1).
Если
рассматриваемая область
односвязна, а производные
также
непрерывны в
,
то для того, чтобы (1) было уравнением в
полных дифференциалах, необходимо и
достаточно выполнения условия
(признак уравнения в полных дифференциалах).
Интегрирующий множитель
Непрерывная
функция
в
называется интегрирующим множителем
уравнения (1), если уравнение
является уравнением в полных дифференциалах, то есть
для некоторой функции
. Число интегрирующих множителей данного уравнения бесконечно.
Функция
является
интегрирующим множителем уравнения
(1) тогда и только тогда, когда она
удовлетворяет уравнению
(область по-прежнему полагаем односвязной; уравнение (2) является следствием признака уравнения в полных дифференциалах).
Уравнение
(2) в общем виде решается сложнее, чем
(1), но для интегрирования (1) достаточно
знать один интегрирующий множитель, то
есть найти какое-либо одно решение
уравнения (2). Обычно ищут решение (2) в
виде
или
,
но это не всегда возможно.
Алгоритм решения
(1)
(2)
(3)
Возьмём (3).1 и проинтегрируем по переменной t:
(*)
Подставим в (3).2:
В
получившемся равенстве слагаемые,
содержащие t, уничтожатся. Получим:
.
Проинтегрируем по x и подставим в (*).
Уравнения, не разрешенные относительно производной. Уравнения, не содержащие явно одну из переменных.
Дифференциальное уравнение первого порядка, не разрешенное относительно производной, имеет вид
.
(1)
При решении такого
уравнения желательно разрешить его
относительно
,
т.е. получить одно или несколько уравнений,
разрешенных относительно производной:
,
каждое из которых нужно решать.
Не всегда уравнение
(1) разрешается относительно
и
еще реже полученные после разрешения
уравнение легко интегрируется. Поэтому
уравнение вида (1) часто приходится
решать методом
введения параметра.
Пусть уравнение (1)
легко разрешается относительно y
или относительно x,
например, его можно записать в виде
.
Введя параметр
,
получим
.
Взяв полный дифференциал от правой и левой частей последнего равенства, и заменив dy через pdx, получим уравнение
,
т.е.
.
Если найдено решения
этого уравнения
,
то решения исходного уравнения запишем
в параметрическом виде
.
Уравнения, не содержащие явно искомой функции и ее производных до порядка k – 1 включительно.
Это
уравнения вида:
В уравнениях такого типа возможно понижение порядка на k единиц. Для этого производят замену переменной:
Тогда
получаем:
Теперь допустим, что полученное дифференциальное уравнение проинтегрировано и совокупность его решений выражается соотношением:
Делая обратную подстановку, имеем:
Интегрируя полученное соотношение последовательно k раз, получаем окончательный ответ:
уравнения не содержащие явно независимой переменной
Это
уравнения вида
Порядок
таких уравнений может быть понижен на
единицу с помощью замены переменных
и
т.д.
Подставляя эти значения в исходное дифференциальное уравнение, получаем:
Если
это уравнение проинтегрировать, и
-
совокупность его решений, то для решения
данного дифференциального уравнения
остается решить уравнение первого
порядка:
Уравнения, не разрешенные относительно производной. Общий метод введения параметров. Уравнение Лагранжа. Уравнение Клеро.
Дифференциальное уравнение первого порядка, не разрешенное относительно производной, имеет вид
. (1)
При решении такого уравнения желательно разрешить его относительно , т.е. получить одно или несколько уравнений, разрешенных относительно производной:
,
каждое из которых нужно решать.
Не всегда уравнение (1) разрешается относительно и еще реже полученные после разрешения уравнение легко интегрируется. Поэтому уравнение вида (1) часто приходится решать методом введения параметра.