Понятие дифференциального уравнения. Порядок ду. Решение ду. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.
Уравнение вида
|
называется обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка. Решением этого уравнения является произвольная функция y = y (x), подстановка которой в уравнение превращает его в верное тождество. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.
Порядок, или степень дифференциального уравнения — наибольший порядок производных, входящих в него
Простейшим дифференциальным уравнением является уравнение вида
|
Решением
(интегралом) дифференциального уравнения
порядка n
называется функция y(x),
имеющая на некотором интервале (a,
b) производные
до
порядка n
включительно и удовлетворяющая этому
уравнению.
При решении многих задач математики, физики и техники часто не удается сразу установить функциональную зависимость между искомыми и данными переменными величинами, но зато удается составить уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее производную. Такое уравнение называется дифференциальным. Дифференциальное уравнение может не содержать в явном виде независимую переменную и искомую функцию, но обязательно должно содержать одну или несколько производных искомой функции. Например, уравнения y¢+2y=0, y"+y¢cosx=lnx являются дифференциальными.
Понятие обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. Геометрический смысл ОДУ первого порядка, разрешенного относительно производной. Понятие частного и общего решения ОДУ первого порядка, его частного и общего интеграла.
Обыкнове́нные дифференциа́льные уравне́ния (ОДУ) — это дифференциальное уравнение вида
(F(x,
y,
y’))
Геометрический смысл уравнения первого порядка. Уравнение (1) в каждой точке (x, y) области D, в которой задана функция f(x, y), определяет y’(x) - угловой коэффициент касательной к решению, проходящему через точку (x, y), т.е. направление, в котором проходит решение через эту точку. Говорят, что уравнение (6) задаёт в D поле направлений. График любого решения дифференциального уравнения (называемый также интегральной кривой) в любой своей точке касается этого поля
Частным решением уравнения (1) на интервале (a, b) (конечном или бесконечном) называется любая n раз дифференцируемая функция , удовлетворяющая этому уравнению, т.е. обращающая уравнение на этом интервале в тождество.
Общее решение дифференциального уравнения — функция наиболее общего вида, которая при подстановке в дифференциальное уравнение вида
обращает его в тождество.
Если каждое решение дифференциального уравнения представимо в виде:
где
—
конкретные числа, то функция вида
при
всех допустимых значениях параметров
(неопределённых констант)
называется
общим
решением дифференциального уравнения.
Постановка задачи Коши для дифференциальных уравнений первого порядка разрешенных относительно производной. Геометрическая интерпретация задачи Коши, интегральная кривая. Постановка задачи Коши для дифференциальных уравнений первого порядка не разрешенных относительно производной, для ДУ n -го (второго) порядка, разрешенных относительно старших производных, для нормальных систем ОДУ первого порядка. Теоремы существований и единственности решений.
ОДУ первого порядка, разрешённое относительно производной
ОДУ n-го порядка, разрешённое относительно старшей производной
Система ОДУ первого порядка, разрешённая относительно производных
