39. Знать определения криволинейных интегралов первого и второго рода и уметь их вычислять
Определения.Пусть 
—
гладкая, без особых точек и самопересечений
кривая (допускается одно самопересечение —
случай замкнутой кривой), заданная
параметрически.
-
(отрезок параметризации) — рассматриваем
часть кривой.
Пусть 
—
разбиение отрезка параметризации 
,
причем 
.
Зададим
разбиение кривой 
.
За 
обозначим
часть кривой от точки 
до
точки 
, 
.
Введем
мелкость разбиения отрезка
параметризации 
: 
.
Введем
набор промежуточных точек разбиения
отрезка параметризации
: 
.
Зададим
набор промежуточных точек разбиения
кривой 
.
Пусть
нам также даны 4 функции, которые
определены вдоль кривой
: 
, 
, 
, 
.
Рассмотрим 4 интегральные суммы.
1) Интегральная сумма криволинейного интеграла первого рода:
.
2) Три интегральных суммы криволинейного интеграла второго рода:
,
,
.
Если 
,
то говорят, что функция 
интегрируема
в смысле криволинейного интеграла
первого рода по кривой
,
а сам предел называют криволинейным
интегралом первого рода функции
по
кривой
и
обозначают 
.
Здесь 
—
дифференциал кривой.
Если 
, 
, 
,
то говорят, что функции 
, 
и
интегрируемы
в смысле криволинейного интеграла
второго рода по кривой
,
а сами пределы называют криволинейными
интегралами второго рода функций
,
и
по
кривой
и
обозначают
Сумму
криволинейных интегралов второго рода
функций
,
и
также
называют криволинейным интегралом
второго рода вектор-функции 
и
обозначают:
.
Если
кривая
замкнута
(начало совпадает с концом), то в этом
случае вместо значка 
принято
писать 
.
1 Рода.
Пусть — гладкая, спрямляемая кривая, заданная параметрически (как в определении). Пусть функция определена и интегрируема вдоль кривой в смысле криволинейного интеграла первого рода. Тогда
.
Здесь
точкой обозначена производная по 
: 
.
2 Рода.
Пусть — гладкая, спрямляемая кривая, заданная параметрически (как в определении). Пусть функция определена и интегрируема вдоль кривой в смысле криволинейного интеграла второго рода. Тогда
,
,
.
Если
обозначить за 
единичный
вектор касательной к кривой
,
то нетрудно показать, что
41.Знать формулы Грина
