28.Сформулировать свойства функции, непрерывной в замкнутой ограниченной области

Свойство. Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой и ограниченной области D, то в этой области найдется по крайней мере одна точка

N(x0, y0, …), такая, что для остальных точек верно неравенство

f(x0, y0, …) ³ f(x, y, …)

а также точка N1(x01, y01, …), такая, что для всех остальных точек верно неравенство

f(x01, y01, …) £ f(x, y, …)

тогда f(x0, y0, …) = M – наибольшее значение функции, а f(x01, y01, …) = m – наименьшее значение функции f(x, y, …) в области D.

Непрерывная функция в замкнутой и ограниченной области D достигает по крайней мере один раз наибольшего значения и один раз наименьшего. Свойство. Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой ограниченной области D, а M и m – соответственно наибольшее и наименьшее значения функции в этой области, то для любой точки m Î [m, M] существует точка

N0(x0, y0, …) такая, что f(x0, y0, …) = m.

Проще говоря, непрерывная функция принимает в области D все промежуточные значения между M и m. Следствием этого свойства может служить заключение, что если числа M и m разных знаков, то в области D функция по крайней мере один раз обращается в ноль.

Свойство. Функция f(x, y, …), непрерывная в замкнутой ограниченной области D, ограничена в этой области, если существует такое число К, что для всех точек области верно неравенство

Свойство. Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой ограниченной области D, то она равномерно непрерывна в этой области, т.е. для любого положительного числа e существует такое число D > 0, что для любых двух точек (х1, y1) и (х2, у2) области, находящихся на расстоянии, меньшем D, выполнено неравенство

29.Знать определение частных производных. Уметь выводить формулы производной сложной функции двух переменных, полной производной, производной неявной функции

Производная неявной функции

30.Знать определение дифференцируемости функции, доказывать теоремы о необходимом условии дифференцируемости, о достаточном условии дифференцируемости

Определение: ф-ция y= f(x) дифференцируема в т. x₀, если в окрестности этой т. её приращение имеет вид (1) ∆y = A* ∆x + 0 (∆x), где A зависит только от x₀ и не зависит от ∆x. Т.е. A (x₀) – фиксированная величина, а 0 (∆x) << ∆x; 0 (∆x) – бесконечно малая более высокого порядка малости, чем ∆x [ 0(∆x)/ ∆x]  0 при ∆x  0 В р-ве 1, слагаемое A*∆x н/з главной частью приращения ф-ции, линейной относительно приращения аргумента. y = kx + b. Второе слагаемое – малая часть приращения ф-ции. Теорема о необходимом и достаточном условии дифференцируемости ф-ции. Для того, чтобы f(x) была дифференцируема в т. x₀ необходимо и достаточно существование производной в этой т.

Док-во: достаточность Пусть y= f(x) имеет производ. В т.x₀ ∃ f’(x₀) = lim [∆x –> 0]∆f/∆x, тогда по теореме о представлении ф-ции, имеющей предел ∆f/∆x = f’(x₀) + α(∆x). α(∆x) –> 0 [∆x –> 0] => f’(x₀) *∆x + α(∆x)* ∆x [f’(x₀) *∆x – главная часть приращения, α(∆x)* ∆x -0(∆x)], α(∆x)* ∆x/∆x  0 [∆x  0] Следовательно р-во (1) выполняется и функция f(x)дифференцируема в т. x₀ Необходимость: Пусть y= f(x) дифференцируема в т. x_0. Покажем, что в т. x_0. существует её производная. ∆y = A* ∆x + 0 (∆x)| : ∆x; ∆y/∆x = A + 0 (∆x)/ ∆x; lim [∆x –> 0]∆y/∆x = A + lim [∆x –> 0] 0(∆x)/ ∆x

∃ f’(x₀) = A(x₀) Для дифференцируемой ф-ции коэеффициент A является произвольным в т. x₀