20.Доказывать теорему о производной определенного интеграла по переменному верхнему пределу и выводить формулу Ньютона–Лейбница

Формула Ньютона–Лейбница

   Пусть f (x) произвольная непрерывная на отрезке [a, b] функция и пусть F (x) какая-нибудь её первообразная. Разобьём отрезок [a, b] на n частей и составим разность

F ( b ) - F ( a )

значений первообразной на концах интервала [a, b]. Эта разность равна сумме разностей, составленных для каждого отрезка разбиения,

По теореме Лагранжа о "конечном приращении" имеем

,

поэтому

.

Это равенство является точным при любом разбиении отрезка [a, b], но оно справедливо лишь при определённом выборе на каждом отрезке разбиения точек

c₁ < c₂ < … < c_n,

которые предписывается теоремой Лагранжа. Если размеры всех отрезков разбиения

[а = х₀, x₁], [х₁, x₂],…, [х _{n - 1}, b]

будут становиться всё меньше и меньше, то сумма

будет являться суммой возрастающего числа стремящихся к нулю слагаемых. Если равенство

верно всегда, то оно верно и в пределе:

.

Полученное равенство замечательно тем, что оно справедливо не только при каком-то частном выборе точек

c₁ < c₂ < … < c_n

по одной на отрезках деления

[а = х₀, x₁], [х₁, x₂],…, [х _{n - 1}, b]

как это предписывается теоремой Лагранжа, но при всяком выборе точек ξ ₁ < ξ ₂, <… < ξ _n по одной на отрезках деления [а = х₀, x₁], [х₁, x₂],…,[х_{n - 1}, b]:

.

Последнее соотношение является замечательным правилом суммирования бесконечно малых, открытых Лейбницем и Ньютоном: для отыскания предела суммы бесконечно малых

,

когда все отрезки, на которые разбит отрезок [a, b], безгранично умаляются, необходимо выполнить два действия:

• 1)  постараться отыскать конечным образом какую-нибудь первообразную F(х) для функции f (x);

• 2)  найдя первообразную F(х), составить разность F(b) - F(a) её значений на концах основного отрезка [a, b]. Эта разность и есть искомый предел.

Сопоставляя это правило с определением определённого интеграла, получим формулу Ньютона—Лейбница

.

При применении формулы Ньютона-Лейбница несущественно, какой из пределов интегрирования больше: верхний или нижний.

21.Выводить формулы замены переменной и интегрирования по частям для определенного интеграла

Замена переменной в определённом интеграле

   Пусть функция φ (t) имеет непрерывную производную на отрезке [α, β], а = φ (α), b = φ (β) и функция f (x) непрерывна в каждой точке x = φ (t), где t [α, β]. Тогда справедливо равенство

   Действительно, пусть F(x) и Ф(t) — некоторые первообразные для функций f ( x) и f (φ (t))·φ ' (t). Доказано, что F (φ (t)) также является первообразной для функции f (φ (t))·φ ' (t). Тогда найдется такое число С, что Ф(t) = F(φ (t)) + C, где t [ α, β]. Поэтому

Ф(β) - Ф(α) = F(φ (β)) + C - (F(φ (α)) + C) = F(b) - F(a).

   Использование замены переменной позволяет упростить интеграл, приблизив его к «табличному». При этом в отличие от неопределенного интеграла, в данном случае нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования. Достаточно лишь найти пределы интегрирования α и β по новой переменной t как решение относительно переменной t из уравнений φ (t) = a и φ (t) = b.

Формула интегрирования по частям для определённого интеграла. 

Если u(x), v(x) - непрерывно дифференцируемые функции, то  .  Док-во. Интегрируем равенство   в пределах от a до b:  Функция в левом интеграле имеет первообразную uv, по формуле Ньютона-Лейбница , следовательно,   , откуда и следует доказываемое равенство.