15.Выводить формулы интегрирования простейших рациональных дробей

Разложение рациональной дроби на сумму простейших дробей.

Запишем рациональную функцию в следующем виде:

Общее число неопределенных коэффициентов A_i , B_i , K_i , L_i , M_i , N_i , ... должно быть равно степени знаменателя Q(x).  Затем умножим обе части полученного уравнения на знаменатель Q(x) и приравняем коэффициенты при слагаемых с одинаковыми степенями x. В результате мы получим систему линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов A_i , B_i , K_i , L_i , M_i , N_i , .... Данная система всегда имеет единственное решение. Описанный алгоритм представляет собой метод неопределенных коэффициентов. 

16. Излагать приёмы вычисления интегралов вида:

17.Знать определение определенного интеграла. Формулировать теорему существования определенного интеграла.

Определение.

Определённый интеграл   численно равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямыми   и   и графиком функции  .

Пусть   определена на  . Разобьём  на части с несколькими произвольными точками   Тогда говорят, что произведено разбиение  отрезка   Далее выберем произв. точку  ,  ,

Определённым интегралом от функции   на отрезке  называется предел интегральных сумм при стремлении ранга разбиения к нулю  , если он существует независимо от разбиения   и выбора точек  , т.е.

Если существует указанный предел, то функция   называется интегрируемой на   по Риману.

Теорема существования определённого интеграла. 

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она интегрируема по этому отрезку. Примем это утверждение без доказательства, поясним только его смысл. Интегрируемость функции означает существование конечного предела последовательности интегральных сумм, т.е. такого числа  , что для любого   найдётся такое число  , что как только разбиение отрезка удовлетворяет неравенству  , то, независимо от выбора точек  выполняется неравенство . Требование непрерывности f(x) достаточно для интегрируемости, но не является необходимым. Интегрируемы функции, имеющие конечное или даже счётное число точек разрыва на [a,b] при условии их ограниченности (т.е. все точки разрыва должны быть точками разрыва первого рода). Неограниченная функция не может быть интегрируемой (идея доказательства этого утверждения: если f(x) неограничена на [a,b], то она неограничена на каком-либо [x_i-1 , x_i], т.е. на этом отрезке можно найти такую точку  , что слагаемое  , а следовательно, и вся интегральная сумма, будет больше любого наперед заданного числа). 

Обозначения.

• 

•  – нижний предел.

•  – верхний предел.

•  – подынтегральная функция.

•  - длина частичного отрезка.

•  – интегральная сумма от функции   на   соответствующей разбиению  .

•  - максимальная длина част. отрезка.

18.Доказывать основные свойства определенного интеграла

19. Доказывать теорему о среднем.

Теорема о среднем.

Если f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то существует точка  , такая что  .  Док-во. Функция, непрерывная на отрезке, принимает на этом отрезке своё наименьшее m и наибольшее M значения.  Тогда  . Число   заключено между минимальным и максимальным значениями функции на отрезке. Одно из свойств функции, непрерывной на отрезке, заключается в том, что эта функция принимает любое значение, расположенное между mи M. Таким образом, существует точка  , такая что  .  Это свойство имеет простую геометрическую интерпретацию: если   непрерывна на отрезке [a,b], то существует точка   такая, что площадь криволинейной трапеции ABCD равна площади прямоугольника с основанием [a,b] и высотой f(c) (на рисунке выделен цветом).