14. Выводить формулы замены переменной и интегрирования по частям для неопределенного интеграла

Метод замены переменной

Теорема. Пусть F(z) есть на каком-нибудь промежутке [p, q] первообразная функция для функции f(z). Если φ(x) есть дифференцируемая функция, заданная на промежутке [a, b] и удовлетворяющая неравенствам p ≤ φ(x) ≤ q, то сложная функция F[φ(x)] будет первообразной для функцииf[φ(x)]φ'(x).

     В самом деле, дифференцируя сложную функцию y = F[φ(x)], мы должны ввести промежуточный аргумент z = φ(x). Тогда y = F(z), z = φ(x)  и y’_x=y’_z*z’_x=F’(z)ϕ’(x) .Так как F'(z) = f(z), то y’_x=f(z)ϕ’(x)=f[ϕ(x)]ϕ’(x), чем и доказана теорема.

     Доказанную теорему можно формулировать и так: если

То

Отсюда следует

     Первое правило подстановки. Чтобы вычислить интеграл

записывая его в форме

заменяем здесь φ(x) на z, вычисляем полученный интеграл и в найденном ответе производим обратную замену z на φ(x).

Интегрирование по частям

Пусть надо вычислить интеграл вида

∫  U(x) · v(x) dx ,

где   v(x)  имеет очевидную первообразную   V(x).

Тогда

∫  U(x) · v(x) dx   =   ∫  U(x) · V'(x) dx   =   ∫  U(x)  dV(x) .

Такого рода преобразование называется подведением под знак дифференциала, поскольку функция v(x) исчезает в интегрируемом выражении и появляется под знаком дифференциала в виде своей первообразной V(x).

Если функция U(x) выражается через функцию V(x) по некоторой формуле U(x) = w(V(x)), то

∫  U(x)  dV(x)   =   ∫  w(V(x)) dV(x)   =   ∫  w(t) dt ,

где t = V(x). Таким образом отыскание исходного интеграла сводится к отысканию интеграла

∫  w(t) dt

В нем функция t = V(x) выступает как независимая переменная, т.е. произошла замена переменной.

Если функция U(x) не выражается через функцию V(x) по некоторой формуле U(x) = w(V(x)), то может оказаться полезным преобразование, называемое интегрированием по частям. Оно определяется следующей теоремой.

Теорема 1. Пусть функции U(x) и V(x) дифференцируемы на некотором интервале и на этом интервале существует интеграл   ∫ V(x)U '(x)  dx .

Тогда существует интеграл   ∫ U(x)V '(x)  dx и справедлива формула

∫ U(x)V '(x)  dx   =   U(x)V(x)   −   ∫ U '(x)V(x)  dx.

(1)

Замечание 1. Очевидно, что в формуле интегрирования по частям оператор дифференцирования, обозначенный штрихом, перемещается с V на U. Этим обусловлена важная роль формулы при доказательстве самосопряженности линейных дифференциальных операторов.

Замечание 2. Формулу интегрирования по частям удобно применять также в виде

∫ U(x) · v(x) dx   =   U(x) · V(x) − ∫ u(x) · V(x) dx,

(2)

где функция v(x) имеет очевидную первообразную V(x) , а   U(x) — дифференцируемая функция, причем ее производная   u(x) = U'(x)  является более простой функцией, чем она сама.

Замечание 3. Формулу интегрирования по частям (1) можно представить в виде в виде

∫ U(x) dV(x)   =   U(x)V(x)   −   ∫ V(x) dU(x) .

(3)