Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Педагогический Университет им. М. Акмуллы

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лабораторные работы по курсу Компьютерное модел...doc

Скачиваний:

Добавлен:

21.09.2019

Размер:

475.65 Кб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Лабораторные работы по курсу «Компьютерное моделирование» введение

Основными целями лабораторного практикума по курсу «Компьютерное моделирование» являются:

выработка и закрепление практических навыков в освоении методологии компьютерного математического моделирования;
практическая реализация межпредметных связей;
освоение элементов самостоятельной научно-исследовательской работы;
укрепление навыков программирования при реализации практически значимых задач;
освоение специальных приемов программирования, связанных с моделированием.

Требования к оформлению лабораторных работ.

Лабораторные работы оформляются в тетради в виде отчета, который должен содержать:

1. название работы, исполнитель, группа и т.д.;

2. постановку задачи и описание модели;

3. результаты

4. результаты, полученные в ходе выполнения задания (в различных формах);

5. качественный анализ результатов.

Лабораторная работа №1 Тема: Численное решение уравнений в частных производных

Рассмотрим смешанную задачу для уравнения теплопроводности, а именно, найти функцию , удовлетворяющую уравнению

(1)

начальному условию

, (2)

и краевым условиям

, . (3)

Задачу будем решать методом сеток (конечных разностей). В основе метода лежит идея замены производных конечно-разностными отношениями. Ограничимся случаем двух независимых переменных. Пусть в плоскости хОу имеется некоторая область с границей (рис. 1).

Рис 1

Построим на плоскости два семейства параллельных прямых:

, , i=0,1,2,…, k=0,1,2,…

Точки пересечения этих прямых назовем узлами. Два узла называются соседними, если они удалены друг от друга в направлении оси Ох или Оу на расстояние, равное шагу сетки h или l соответственно. Выделим узлы, принадлежащие области G+Г, а также некоторые узлы, не принадлежащие этой области, но расположенные на расстоянии, меньшем чем шаг, от границы Г. Те узлы, у которых все четыре соседних узла принадлежат выделенному множеству узлов, называются внутренними (узел А, рис. 1). Оставшиеся из выделенных узлов называются граничными (узлы В, С). Обозначим

Значения искомой функции и=и(х,у) в узлах сетки будем обозначать через В каждом внутреннем узле заменим частные производные разностными отношениями:

В граничных точках воспользуемся формулами вида

, .

Аналогично заменяются частные производные второго порядка

Сделаем переход от уравнения вида к разностному уравнению

- =0.

После замены и преобразований получаем уравнение для вычисления внутренних узлов

(4)

При разностное уравнение (4) устойчиво. Наиболее простой вид уравнение имеет при В этом случае уравнение (2) запишется в виде

(5)

Пусть (x,t) – точное решение задачи (1)-(3), – отклонение точного значения от вычисленного по методу сеток. Тогда погрешность вычислений может быть вычислена по формуле

, (6)

где = , где

Задание 1

Используя метод сеток, найти приближенное решение уравнения (1)-(3), удовлетворяющее условиям , для , и h=0.1, l=0.005.

Решение должно быть оформлено в виде таблицы 1 подсчитанной вручную. Исходные данные заданы в таблице 2. Оценить погрешность вычислений по формуле (6).

Комментарий. Значения находим, подставляя значение х_ов . Например, при равна 0. Значения и определяются краевыми условиями (в нашем случае нулевые). Далее значение, например, находим, используя формулу (5), т.е. и т.д.

Таблица 1.

j
0	0
1	0.005
2	0.010
3	0.015
4	0.020
5	0.025
6	0.03

Таблица 2

№ варианта
1	0.1	0.6
2	0	0.5
3	0.2	0.7
4	0	0.5
5	0.1	0.6
6	0.2	0.7
7	0	0.5
8	0.2	0.7
9	0	0.5
10	0.1	0.6
11	0	0.5
12	0.2	0.7
13	0.1	0.6
14	0	0.5
15	0.2	0.7

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. В чем суть метода сеток?

2. Какие точки называются узлами?

3. Что такое шаг сетки?

4. Какие узлы называются внутренними и какие граничными?

5. Как перейти от дифференциального уравнения к разностному (на примере уравнения теплопроводности)?

6. Какое уравнение используется для вычисление текущего слоя?

7. Как вычислить отклонение значений точного решения от приближенного по методу сеток?

Решение уравнения теплопроводности в Maple

> restart;

> eq:=diff(u(x,t),t)=2*diff(u(x,t),x,x);

> sol:=pdsolve(eq,HINT=X(x)*T(t),build);

> i:={_c[1]=3,_C1=-1/2,_C2=1,_C3=-1/2}:

> R:=simplify(eval(rhs(sol),i));

Лабораторный практикум по пакету MatLab

Практикум имеет следующую структуру:

лабораторные работы по разделам курса, включающие последовательное описание их выполнения;
варианты, предлагаемые студентам для самостоятельного выполнения.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА MATLAB

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Сформировать у студентов знания, умения и навыки работы с математическим пакетом MATLAB.

Окна системы MATLAB

MATLAB (MATrix LABoratory) – интерактивный матрично-ориентированный пакет, предназначенный для выполнения научных и инженерных расчетов.

По умолчанию после запуска пакета MATLAB на экране появляется комбинированное окно, включающее четыре наиболее важные панели:

Command Window (Окно команд) – самая используемая панель. В ней набирают команды пользователя, подлежащие немедленному исполнению. Здесь же выдаются результаты выполненных команд.

Command History (История команд) хранит все команды, набираемые пользователем, однако в отличие от содержимого Command Window (Окно команд) сюда не попадают сообщения системы и результаты вычислений.
Workspace (Рабочее пространство) отображает текущий набор переменных, заведенных пользователем в командном окне.
Current Directory (Текущий каталог) является аналогом известной программы Проводник, но имеет для MATLAB свое особое предназначение. Дело в том, что, кроме работы с математическими выражениями из командного окна, пользователь также может работать с файлами.

Функцию пользователя можно создать следующим образом:

Вызов окна редактора m-файлов путем нажатия кнопки New M-File (Создать m-файл).
Ввод строки

function z=expxp(x)

Ключевое слово function объявляет новую функцию, имя которой expxp, а ее параметр – х. Символ Z определяет значение функции при аргументе x.

Задание новой функции (функции пользователя). Пусть

z=exp(x)/x

Сохранение функции пользователя на диске. Для этого достаточно щелкнуть мышью по кнопке Save (Сохранить).
Закрытие окна редактора m-файлов.

Функция пользователя z=exp(x)/x создана.

Для вычисления функции при данном аргументе х достаточно набрать имя функции и значение аргумента в круглых скобках: z=expxp(1). На экране получим значение функции z = 2.7183.

Визуализация вычислений

Основными функциями двухмерной графики являются:

plot(x, y)

plot(x, y, s)

plot(x1, y1, s1, x2, y2, s2, …, xn, yn, sn)

где:

х – аргумент функции, задаваемой в виде вектора;
у – функция, представленная в аналитическом виде или в виде вектора или матрицы;
s – вектор стилей графика; константа, определяющая цвет линий графика, тип точек и тип линий;
х1, х2, …, хn – аргументы n функций, изображаемых на одном графике;
у1, у2, …, уn – функции, изображаемые на одном графике.

В таблице 1.1 приведены стили графиков системы MATLAB.

Таблица 1.1. Стили графиков

Тип точки		Цвет линии		Тип линии
.	Точка	Y	Желтый	-	Сплошная
О	Окружность	M	Фиолетовый	:	Двойной пунктир
	Крест	C	Голубой	-.	Штрих-пунктир
+	Плюс	R	Красный	--	Штриховая
*	Восьмиконечная снежинка	G	Зеленый
S	Квадрат	B	Синий
D	Ромб	W	Белый
V, ^, <, >	Треугольник вверх, вниз, влево, вправо	K	Черный
P	Пятиконечная звезда
H	Шестиконечная звезда

Рассмотрим пример построения графика функции у=sin xe^-^x.

В окне Command Window задается программа:

>> x=-5:0.5:5; % задание промежутка [-5;5] с шагом 0,5

>> plot(x,expxp(x),['R','*','-.']) % выведение графика функции expxp(x) красного цвета (R), точки графика в виде снежинок (*), линии штрихпунктирные (-.)

>> grid on % задание сетки

Для блокировки вывода результата вычисления некоторого выражения в командное окно после него надо установить знак ;

График функции приведен на рис. 1.3.