Уравнение Бернулли для струйки невязкой жидкости

(3.21)

В данном уравнении все члены представляют собой энергию, отнесенные к единице веса, т. е. удельные энергии.

Уравнение (3.21) справедливо для любого сечения элементарной струйки.

Уравнение Бернулли для двух сечений:

(3.22)

Из уравнения Бернулли видно, что чем больше скорость и, тем меньше гидродинамическое давление р, и наоборот.

Это важнейший закон гидромеханики.

Исследования Бернулли дали возможность близко подойти к математической формулировке этого закона, но сам Бернулли не предложил уравнение, которое теперь принято назы­вать уравнением Бернулли в знак признания его заслуг в создании гидродинамики.

Уравнение Бернулли для струйки вязкой жидкости

При движе­нии вязкой (реальной) жидкости часть энергии затрачивается на сопро­тивление движению, вызываемое трением в жидкости и другими вида­ми сопротивлений.

В результате частица жидкости, придя из первого сечения во второе, будет обладать меньшим запасом механической энергии по сравнению с первым сечением.

Это выражается следующим неравенством:

При такой записи уравнения Бернулли затраченную часть энергии необходимо выразить с помощью линейной величины h′_ω , представ­ляющей собой потерю удельной энергии частицы жидкости при дви­жении от первого до второго сечения.

Поэтому уравнение Бернулли для струйки принимает вид:

(3.23)

Затраченная часть механической энергии на сопротивление движе­нию переходит в тепловую энергию. Этот необратимый процесс назы­вается диссипацией энергии.

Геометрический и энергетический смысл уравнения Бернулли для струйки

Поскольку все члены уравнений (3.22) и (3.23) имеют размерность длины, они могут быть легко проиллюстрированы гео­метрически.

Изобразим элементарную струйку и выделим в ней два сечения (рис. 3.4).

Ось трубки является линией тока и траекторией при установившемся движении.

Геометрический и энергетический смысл членов z и р/γ рассмотрены в гидростатике.

На рис. 3.4 показаны гео­метрические высоты z (геометрические напоры) относительно горизон­тальной плоскости сравнения, след которой обозначен 0 - 0.

В каждой точке линии тока отложим вверх пьезометрические высоты. Соединив концы отрезков, изображающих эти высоты, плав­ной кривой, получим линию, называемую пьезометрической. Одновременно эта линия изображает изменение гидростатического напора z + р/γ.

Третий член уравнения Бернулли имеет размерность длины.

Величину u²/2g называют скоростной высотой или скоростным напо­ром.

Отложим эти отрезки вверх от пьезометрической ли­нии.

Если рассматривать невяз­кую жидкость, то согласно уравнению (3.22) верхние концы отрезков должны находиться на линии е - е, параллельной линии 0 – 0.

Рис. 3.4. Геометрическая и энергети­ческая интерпретация уравнения Бернулли для струйки вязкой жид­кости

Сумма пьезометрического и скоростного напоров представ­ляет собой полный напор, называемый гидродинамическим напором. Различают гидродинамический напор при абсолютном давлении и избыточном (избыточный гидродинамический напор).

Геометрический смысл уравнения Бернулли для струйки невяз­кой жидкости состоит в том, что гидродинамический напор остается постоянным по длине струйки.

Иначе - линия, соединяющая верх­ние концы гидродинамических напоров, расположена в горизонталь­ной плоскости, след которой на рис. 3.4 обозначен е - е.

Кинетичес­кая энергия частицы, имеющей массу т, равна т и²/2. Отнеся её к единице веса, т. е. тg, получим:

Кинематическая энергия частицы жидкости, отнесенная к единице её веса, количественно равная е_к, называется удельной кинетической энергией частицы.

Энергия движущейся частицы жидкости, отнесен­ная к единице её веса и условной горизонтальной плоскости, количест­венно равная е = е_п + е_к, называется удельной энергией частицы, где е_п - удельная потенциальная энергия частицы.

Поскольку удельная энергия выражается в единицах длины, то пол­ная удельная энергия е равна гидродинамическому напору.