Решение поставленной задачи с помощью метода ветвей и границ
Максимизированным критерием в нашей задаче будет выступать возможная прибыль с продажи товара в тысячах условных единиц. Вес товара и максимальная грузоподъемность указаны в десятках тонн. Найдя оптимальное решение для поставленной задачи, определим, какие товары целесообразнее погрузить, что бы получить максимальную прибыль от их последующей продажи.
3х1+х2+2х3+5х4+4х5+7х6 max
2х1+х2+х3+4х4+3х5+5х6 ≤ 12
xi
{0.1},
i=
Решение
начинаем с вычисления оценок в корне К
дерева вариантов. Для нахождения верхней
оценки xi
{0.1},
i=
заменяем на xi
[0.1],
i=
,
получив задачу о ранце с дробимыми
предметами. Применяем к ней алгоритм
Дацинга. Для каждого i-го
предмета вычисляем значение показателя
:
,
=1
,
2,
,
,
расставим их в порядке убывания:
3>
1>
6>
5>
4>
2.
Теперь
помещаем предметы в ранец последовательно
в порядке убывания
, пока остается выполненным ограничение
по весу ранца. Процесс загрузки ранца
закончен. В результате получаем
оптимальное решение: X=(1,0,1,
,1,1).
На найденном решении критерий 3 принимает значение 17,25. Следовательно, верхняя оценка для значения критерия решаемой КЗР будет 17. Для нахождения нижней оценки используем ЭАД, который в данном случае заменяет значение х4 на нулевое и дает решение X=(1,0,1,0,1,1). Найденное решение дает нижнюю оценку 16. Эта оценка является начальным значением рекорда.
В
ерхняя
и нижняя оценки в корне не совпадают,
выполняем ветвление и получаем две
дочерние вершины корневой: Ап и Ал.
Вершине Ал соответствует подзадача,
получаемая из исходной в положении
х4=0.
Вершине Ап соответствует х4=1.
Для подзадачи Ал алгоритм Дейкстры
строит целочисленное решение
X=(1,1,1,0,1,1).
Полученное решение обеспечивает
совпадающие, равные 17 верхнюю и нижнюю
оценки, совпадающие с верхней оценкой
в корне. Больше ветвлений выполнять не
надо, решение X=(1,1,1,0,1,1)
в рассмотренной задаче является
оптимальным.
Кopt=17 (тыс. у.е.) -получена максимальная возможная прибыль от продажи товара;
х1=х2=х3=х5=х6=1 - груз, погруженный на корабль
х4=0 - груз, оставленный в порту
Т.е. при полной загрузке корабля всеми товарами, кроме четвертого, мы извлечем максимальную прибыль от их дальнейшей продажи в 17 тыс.у.е.
Решение поставленной задачи с с помощью метода реккурентных соотношений
Условие задачи остается то же
3х1+х2+2х3+5х4+4х5+7х6 max
2х1+х2+х3+4х4+3х5+5х6 ≤ 12
xi
{0.1},
i=
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
1 |
0 |
3(1) |
3(1) |
3(1) |
3(1) |
3(1) |
3(1) |
3(1) |
3(1) |
3(1) |
3(1) |
3(1) |
2 |
1(2) |
3(1) |
4(1,2) |
4(1,2) |
4(1,2) |
4(1,2) |
4(1,2) |
4(1,2) |
4(1,2) |
4(1,2) |
4(1,2) |
4(1,2) |
3 |
2(3) |
3(1) |
4(1,2) |
6(1,2,3) |
6(1,2,3) |
6(1,2,3) |
6(1,2,3) |
6(1,2,3) |
6(1,2,3) |
6(1,2,3) |
6(1,2,3) |
6(1,2,3) |
4 |
2(3) |
3(1) |
4(1,2) |
6(1,2,3) |
7(4,3) |
8(4,1) |
9(1,2,4) |
11(1,2,3,4) |
11(1,2,3,4) |
11(1,2,3,4) |
11(1,2,3,4) |
11(1,2,3,4) |
5 |
2(3) |
3(1) |
4(1,2) |
6(1,2,3) |
7(4,3) |
8(4,1) |
10(1,3,5) |
11(1,2,3,4) |
12(1,4,5) |
13(1,2,4,5) |
15(1,2,3,4,5) |
15(1,2,3,4,5) |
6 |
2(3) |
3(1) |
4(1,2) |
6(1,2,3) |
7(4,3) |
9(6,3) |
10(1,6) |
11(1,2,6) |
13(1,2,3,6) |
14(3,4,6) |
15(1,4,6) |
17(1,2,3,5,6) |
Кopt=17 - максимальная возможная прибыль от продажи ;
х1=х2=х3=х5=х6=1 -груз, погруженный на корабль
х4=0 -груз, оставленный в порту
В итоге, при решении поставленной задачи двумя способами оптимальные решения совпали, следовательно, задача решена правильно.