52.Метод зеркальных изображений

Рассмотрим 2 случая

1)Требуется рассчитать поле вблизи поверхности раздела между диэлектриком и проводником. Пусть над поверхностью расположен

провод.Применим метод зеркальных изображений,

который в данном случае заключается в том, что

проводящую среду ϒ заменим на диэлектрическую

среду ε,но чтобы при этом граничные условия не

изменились,то разместим проводник ниже (на

основании теоремы единственности). Получили

поле двух заряженных осей с эквипотенциалью

посередине.

2)Поверхность раздела двух диэлектриков.

Для расчета поля в среде ε₁ заменим среду ε₂ на ε₁ но чтобы

при этом граничные условия не изменились,в фиктивную

среду ε₂ поместим заряженный проводник с линейной

плотностью τ₁ на расстоянии h от границы раздела.

Для расчета поля в среде ε₂ заменим среду ε₁ на ε₂ ,но чтобы при этом граничные условия не изменились,поместим в фиктивную среду ε₂ фиктивно заряженный проводник τ₂ на расстоянии h от поверхности раздела.

Приравнивая (4) и (5) получим τ-τ₁=τ₂. (6)

Решая совместно (3) и (6) получаем:

Формулы (7) и (8) получены в предположении,что над поверхностью раздела находится заряженный провод с линейной плотностью заряда τ.Если бы был точечный заряд q,то формулы (7) и (8) не изменились бы,но τ  q.

53.Электрическое поле постоянного тока в проводящей среде.Аналогия электростатического и стационарного полей.

Если в проводящей среде создать электрическое поле,то под действием этого поля потечет ток.Этот ток равен: где δ-вектор плотности тока [A/m²], ds- вектор элемента поперечного сечения проводника.

Закон Ома в дифференциальной форме: ϒ-удельная проводимость среды.

Закон Джоуля-Ленца: здесь P₀ удельная мощность [Вт/м³].

Первый закон Кирхгофа в интегральной форме и дифференциальной форме:

Стационарное поле это потенциальное поле.Условие потенциальности:

;

2ой Закон Кирхгофа(обобщ.закон Ома в диф форме):

Е_{сторонее}-вектор напряженности стороннего поля, Е-напряженность Кулонова поля.

Под сторонним полем понимают поле,создаваемое источниками различн типа.

Граничное условие выводится из формулы: и отсюда Т.е.тангенциальная составляющая вектора напряженности эл.поля на поверхности раздела двух сред непрерывна.Потенциал на границе раздела двух сред не может измениться скачком,т.е. нормальная составляющая вектора плотности тока на поверхности раздела двух сред непрерывна. .

Аналогия:вообще говоря природы этих полей различны.Электростатическое поле создается системой неподвижных,неизменных во времени зарядов,а стационарное-это поле упорядоченно движущихся зарядов.Но если рассматривать формально уравнение электростатического поля в областях,где нет свободных зарядов и уравнения стационарного поля в областях,где нет сторонних источников,то можно увидеть,что эти уравнения аналогичны:

Электростатич.поле ρсвоб=0	Стационар.поле Естор=0
divD=0	divδ=0
rotE=0	rotE=0
E1t=E2t, ϕ1=ϕ2; D1n=D2n;	E1t=E2t, ϕ1=ϕ2; δ1n=δ2n;

Если поля,созданные какой-то системой электродов в диэл.среде и в проводящей среде описывается аналогичными уравнениями,то решение этих уравнений будет аналогично.Допустим 2 электрода помещены в диэл.среду.К ним приложено напряжение.Поверхности электродов эквипотенциальны.Силовые линии при этом должны быть перпендикулярны поверхности электродов.Допустим заменить эл.среду на проводящую.При этом ϒ проводящей среды намного меньше проводимости эл-ов.Так же эквипотенциальной силовые линии будут перпендикулярны поверхности электродов.Пусть есть решение для эл.статики. Тогда для такой же системы электродов в стационарном поле решение получим путем замены:

Пример: найти проводимость утечки между проводами:

G-?, d>>r₀.